統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：41, 53, 13, 28, 13, 15。

n = 6

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 50、標準偏差 20 の正規分布に従います。75 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 50σ = 20x = 75

z =

3.確率ふつう

9 人のグループから 2 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。

n = 9k = 2

N =

4.確率むずかしい

部品を 5 個試験し、各部品は独立に確率 0.7 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 5p = 0.7

P =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.4108 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.4108

z =

6.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの下位 15% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

7.信頼区間ふつう

16 個からなる標本の平均は 116、標準偏差は s = 13.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 16x̄ = 116s = 13.595%t(15) = 2.131

E =

8.信頼区間むずかしい

機械加工した 21 本の軸の直径の標本標準偏差は 11.6 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 20 のとき、χ² 分布の 2.5% は 9.591 より下に、2.5% は 34.17 より上にあります。

n = 21s = 11.6 µmχ² = 9.591, 34.17

σ = µm

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 49 人の標本の平均点は 122.1、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 122.1s = 12n = 49

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 4 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 17 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.05検出力 = 80%δ = 4σ = 17z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 5 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5Σx = 15Σy = 338Σx² = 55Σy² = 23334Σxy = 1083

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 17 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 17

x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 16.79

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 163/6 = 27.17

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 13.83² + 25.83² + (−14.17)² + 0.8333² + (−14.17)² + (−12.17)² = 1409

標準偏差

s = √(1409/5) = 16.79

答え

s = 16.79

2.記述統計

答え: z = 1.25

標準化する

z = (75 − 50)/20 = 1.25

答え

z = 1.25

3.確率

答え: N = 36

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

組合せ

C(9, 2) = (9·8)/(2·1) = 36

答え

N = 36

4.確率

答え: P = 0.03078

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.3⁵ = 0.00243

P(X = 1) = 5·0.7·0.3⁴ = 0.02835

足し合わせる

P = 0.00243 + 0.02835 = 0.03078

答え

P = 0.03078

5.正規分布

答え: z = 0.54

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.4108)/2 = 0.7054

z 表を逆に読む

表の中で 0.7054 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.54

答え

z = 0.54

6.正規分布

答え: x = 458 h

左側の面積

Φ(z) = 0.15

表からの z

z ≈ −1.04

元の単位に戻す

x = 500 − 1.04·40 = 458 h

答え

x = 458 h

7.信頼区間

答え: E = 7.192

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 15, t = 2.131

誤差の幅

E = 2.131·13.5/√16 = 7.192

答え

E = 7.192

8.信頼区間

答え: σ = 8.875 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 20·11.6² = 2691

σ² の限界

2691/34.17 = 78.76

2691/9.591 = 280.6

σ の限界

σ = √78.76 = 8.875 µm

答え

σ = 8.875 µm

σ の 95% 区間：[8.875, 16.75] µm。

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.225

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714

検定統計量

t = (122.1 − 120)/1.714 = 1.225

答え

t = 1.225

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 112

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((1.645 + 0.842)·17/4)² = 111.7

切り上げる

n = 112

答え

n = 112

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9906

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 1083 − 15·338/5 = 69

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 23334 − 338²/5 = 485.2

相関係数

r = 69/√(10·485.2) = 0.9906

答え

r = 0.9906

12.線形回帰と相関

答え: x = 4.43

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 113/6 = 18.83

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34.5

回帰直線

b = −34.5/17.5 = −1.971

a = 18.83 − (−1.971)·3.5 = 25.73

ŷ = 25.73 − 1.971·x

x について解く

x = (17 − 25.73)/(−1.971) = 4.43

答え

x = 4.43

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