記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：54, 45, 56, 60, 38, 25。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 50 の正規分布に従います。475 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500σ = 50x = 475
z =
3.確率ふつう
14 人のグループから 5 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 14k = 5
N =
4.確率むずかしい
部品を 8 個試験し、各部品は独立に確率 0.5 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 8p = 0.5
P =
5.正規分布ふつう
X は平均 60 s、標準偏差 5 s の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 45 s、標準偏差 4 s の正規分布に従います。X + Y が 101.8 s を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 101.8 s
P =
6.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.05 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.信頼区間ふつう
25 個からなる標本の平均は 53、標準偏差は s = 6 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 25x̄ = 53s = 699%t(24) = 2.797
上限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 20 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 20E = 2.595%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
ある母集団の平均は 250 であると主張されています。母標準偏差は 5 であることがわかっています。100 個の観測値からなる無作為標本の平均は 250.83 です。H₀: μ = 250 対 H₁: μ ≠ 250 を検定します。p 値 p を求めなさい。
μ₀ = 250σ = 5n = 100x̄ = 250.83H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
16 回の測定の標本平均は 53.1 です。母標準偏差は 5 です。平均の 95% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
x̄ = 53.1σ = 5n = 1695%
L =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (3.5, 21) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(3.5, 21)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 13.16
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 278/6 = 46.33
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 7.667² + (−1.333)² + 9.667² + 13.67² + (−8.333)² + (−21.33)² = 865.3
標準偏差
s = √(865.3/5) = 13.16
答え
s = 13.16
2.記述統計
答え: z = −0.5
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (475 − 500)/50 = −0.5
答え
z = −0.5
3.確率
答え: N = 2002
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002
答え
N = 2002
4.確率
答え: P = 0.03516
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.58 = 0.003906
P(X = 1) = 8·0.5·0.57 = 0.03125
足し合わせる
P = 0.003906 + 0.03125 = 0.03516
答え
P = 0.03516
5.正規分布
答え: P = 0.6915
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
和の分布
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s
標準化する
z = (101.8 − 105)/6.403 = −0.5
上側確率
P = 1 − Φ(−0.5) = 1 − 0.3085 = 0.6915
答え
P = 0.6915
6.正規分布
答え: P = 0.9772
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.025 mm
標準化する
z = (0 − 0.05)/0.025 = −2
確率
P = 1 − Φ(−2) = 0.9772
答え
P = 0.9772
7.信頼区間
答え: 上限 = 56.36
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 24, t = 2.797
誤差の幅
E = 2.797·6/√25 = 3.356
区間
53 ± 3.356 → [49.64, 56.36]
答え
上限 = 56.36
8.信頼区間
答え: n = 246
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.96·20/2.5)² = 245.9
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 246
答え
n = 246
9.仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.09691
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
検定統計量
SE = σ/√n = 5/√100 = 0.5
z = (250.83 − 250)/0.5 = 1.66
裾の面積
Φ(1.66) = 0.9515
1 − Φ(1.66) = 0.0485
p 値
p = 2·0.0485 = 0.09691
答え
p = 0.09691
p > 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: L = 50.65
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 1.96·5/√16 = 2.45
区間の端
L = 53.1 − 2.45 = 50.65
答え
L = 50.65
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9925
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 444/6 = 74
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 306
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1358
相関係数
r = 306/√(70·1358) = 0.9925
答え
r = 0.9925
12.線形回帰と相関
答え: e = 4.25
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 89/5 = 17.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
回帰直線
b = −21/10 = −2.1
a = 17.8 − (−2.1)·3 = 24.1
ŷ = 24.1 − 2.1·x
予測値
ŷ = 24.1 + (−2.1)·3.5 = 16.75
残差
e = 21 − 16.75 = 4.25
答え
e = 4.25
点は直線より上にあります。
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