記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：34, 52, 29, 39, 15, 52。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 50、標準偏差 12 の正規分布に従います。54.8 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 50σ = 12x = 54.8
P =
3.確率ふつう
袋に赤玉 5 個と青玉 4 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
5 / 4
P =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 10 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.7 で正解します。ちょうど 5 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 10p = 0.7k = 5
P =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.7243 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.7243
z =
6.正規分布むずかしい
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 5% がそれより下にある値 x（第 5 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 178σ = 7P = 5%
x = cm
7.信頼区間ふつう
σ が既知のもとで 50 個の観測値に基づく平均の 99% 信頼区間の誤差の幅は 2.2 です。 同じ研究で代わりに 450 個の観測値を使うと、誤差の幅 E₂ はいくらになりますか？
99%n₁ = 50E₁ = 2.2n₂ = 450
E₂ =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 27 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 27E = 2.590%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 64 人の標本の平均点は 196.1、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 196.1s = 10n = 64
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 100 人中 40 人、治療 B の患者 80 人中 26 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 40n₁ = 100x₂ = 26n₂ = 80
z =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 100Σy = 451Σx² = 2040Σy² = 42635Σxy = 9298
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (4.5, 66) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(4.5, 66)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 14.22
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 221/6 = 36.83
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−2.833)² + 15.17² + (−7.833)² + 2.167² + (−21.83)² + 15.17² = 1011
標準偏差
s = √(1011/5) = 14.22
答え
s = 14.22
2.記述統計
答え: P = 0.6554
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 0.4
標準正規分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554
答え
P = 0.6554
3.確率
答え: P = 0.2778
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0.2778
答え
P = 0.2778
4.確率
答え: P = 0.1029
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 5) = 252·0.75·0.35 = 252·0.1681·0.00243 = 0.1029
答え
P = 0.1029
5.正規分布
答え: z = 1.09
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = (1 + 0.7243)/2 = 0.8621
z 表を逆に読む
表の中で 0.8621 を見つけ、z を読み取ります。
z = 1.09
答え
z = 1.09
6.正規分布
答え: x = 166.5 cm
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
x に戻す
x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm
答え
x = 166.49 cm
7.信頼区間
答え: E₂ = 0.7333
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(50/450) = 0.3333
新しい誤差の幅
E₂ = 2.2·0.3333 = 0.7333
答え
E₂ = 0.7333
8.信頼区間
答え: n = 316
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·27/2.5)² = 315.6
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 316
答え
n = 316
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −3.12
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 10/√64 = 10/8 = 1.25
検定統計量
t = (196.1 − 200)/1.25 = −3.12
答え
t = −3.12
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: z = 1.038
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
標本比率
p̂₁ = 40/100 = 0.4
p̂₂ = 26/80 = 0.325
p̂ = 66/180 = 0.3667
H₀ のもとでの標準誤差
SE = √(0.3667·0.6333·(1/100 + 1/80)) = 0.07228
検定統計量
z = (0.4 − 0.325)/0.07228 = 1.038
答え
z = 1.038
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9942
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 9298 − 100·451/5 = 278
Sxx = 2040 − 100²/5 = 40
Syy = 42635 − 451²/5 = 1955
相関係数
r = 278/√(40·1955) = 0.9942
答え
r = 0.9942
12.線形回帰と相関
答え: e = 3.65
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 296/5 = 59.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 63
回帰直線
b = 63/10 = 6.3
a = 59.2 − 6.3·4 = 34
ŷ = 34 + 6.3·x
予測値
ŷ = 34 + 6.3·4.5 = 62.35
残差
e = 66 − 62.35 = 3.65
答え
e = 3.65
点は直線より上にあります。
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1