統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：18, 47, 34, 52, 34, 59。

n = 6

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 70、標準偏差 20 の正規分布に従います。82 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 70σ = 20x = 82

P =

3.確率ふつう

公正なさいころを 4 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 4

P =

4.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 6 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.7 で正解します。ちょうど 1 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 6p = 0.7k = 1

P =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.3446 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.3446

z =

6.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。色つきの下位 25% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 100 点σ = 15 点25%

x = 点

7.信頼区間ふつう

9 個からなる標本の平均は 76、標準偏差は s = 11 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 9x̄ = 76s = 1190%t(8) = 1.86

下限 =

8.信頼区間むずかしい

予備調査によると、製品の約 0.15 が不良品です。割合の 95% 信頼区間の誤差の幅を 0.025 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？

p ≈ 0.15E = 0.02595%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

6 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 3.84、差の標準偏差は 4.7 です。H₀: μ_d = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 6d̄ = 3.84s_d = 4.7

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 2.5 単位のずれを検出力 90% で検出しなければなりません。標準偏差は 6 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.05検出力 = 90%δ = 2.5σ = 6z_α = 1.645z_β = 1.282

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5

r² =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 19 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 5x = 19

ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 14.88

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 244/6 = 40.67

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−22.67)² + 6.333² + (−6.667)² + 11.33² + (−6.667)² + 18.33² = 1107

標準偏差

s = √(1107/5) = 14.88

答え

s = 14.88

2.記述統計

答え: P = 0.7257

標準化する

z = 0.6

標準正規分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

答え

P = 0.7257

3.確率

答え: P = 0.5177

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)⁴ = 0.4823

P = 1 − 0.4823 = 0.5177

答え

P = 0.5177

4.確率

答え: P = 0.01021

二項分布の公式

P(X = 1) = 6·0.7¹·0.3⁵ = 6·0.7·0.00243 = 0.01021

答え

P = 0.01021

5.正規分布

答え: z = 0.4

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.3446 = 0.6554

z 表を逆に読む

表の中で 0.6554 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.40

答え

z = 0.40

6.正規分布

答え: x = 90 点

左側の面積

Φ(z) = 0.25

表からの z

z ≈ −0.67

元の単位に戻す

x = 100 − 0.67·15 = 90 点

答え

x = 90 点

7.信頼区間

答え: 下限 = 69.18

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 8, t = 1.86

誤差の幅

E = 1.86·11/√9 = 6.82

区間

76 ± 6.82 → [69.18, 82.82]

答え

下限 = 69.18

8.信頼区間

答え: n = 784

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 1.96²·0.15·0.85/0.025² = 783.7

切り上げる

n = 784

答え

n = 784

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.001

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 4.7/√6 = 1.919

検定統計量

t = 3.84/1.919 = 2.001

答え

t = 2.001

df = 5 のとき、両側 5% の臨界値は 2.571 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 50

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((1.645 + 1.282)·6/2.5)² = 49.35

切り上げる

n = 50

答え

n = 50

11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.8613

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 272/5 = 54.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 351.2

決定係数

r² = 55²/(10·351.2) = 0.8613

答え

r² = 0.8613

y の変動の約 86.13% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 60.75

平均

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 322/5 = 64.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146

回帰直線

b = 146/40 = 3.65

a = 64.4 − 3.65·20 = −8.6

ŷ = −8.6 + 3.65·x

予測

ŷ = −8.6 + 3.65·19 = 60.75

答え

ŷ = 60.75

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