統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
152025303540

データの標本標準偏差 s を求めなさい：36, 38, 37, 43, 18, 15。

n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 50、標準偏差 15 の正規分布に従います。72.5 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 50σ = 15x = 72.5
P =
3.確率ふつう
xp(x)100.2200.15300.3400.35μ = 28

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.2, 0.15, 0.3, 0.35
Var(X) =
4.確率むずかしい
€p(x)−100.7400.25900.05

ゲームの参加費は €10 です。確率 0.25 で €50、確率 0.05 で €100 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €10€50: p = 0.25€100: p = 0.05
E(G) = €
5.正規分布ふつう
32 min28.3 minX + Y?

X は平均 12 min、標準偏差 1.5 min の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 20 min、標準偏差 2 min の正規分布に従います。X + Y が 28.3 min を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 28.3 min
P =
6.正規分布むずかしい
157164171178185192199cm下端 40%

成人男性の身長 は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。色つきの下位 40% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
7.信頼区間ふつう
n = 9, s = 18.5LUx̄ = 63.5E = ?99%

9 個からなる標本の平均は 63.5、標準偏差は s = 18.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 9x̄ = 63.5s = 18.599%t(8) = 3.355
E =
8.信頼区間むずかしい
σ = 25, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

母標準偏差は 25 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 25E = 190%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.1792.179t = ?df = 12

13 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 1.55、差の標準偏差は 5.6 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 13d̄ = 1.55sd = 5.6
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
μ₀x̄c

H₀: μ = 80 対 H₁: μ > 80 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 64 で行います。標準偏差は 12 であることがわかっています。実際の平均は 83.9 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。

μ₀ = 80μ = 83.9σ = 12n = 64α = 0.01
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
xy28496118151018xy5101015

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy264126178231031xy510102030x = 5

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 5 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 5x = 5
ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 11.65

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 187/6 = 31.17

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 4.833² + 6.833² + 5.833² + 11.83² + (−13.17)² + (−16.17)² = 678.8

標準偏差

s = √(678.8/5) = 11.65

答え

s = 11.65
2.記述統計

答え: P = 0.9332

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 1.5

標準正規分布表

Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332

答え

P = 0.9332
3.確率

答え: Var(X) = 126

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 10·0.2 + 20·0.15 + 30·0.3 + 40·0.35 = 28

2 乗の平均

E(X²) = 100·0.2 + 400·0.15 + 900·0.3 + 1600·0.35 = 910

分散

Var(X) = 910 − 28² = 126

答え

Var(X) = 126
4.確率

答え: E(G) = 7.5 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 40 (p = 0.25), 90 (p = 0.05), −10 (p = 0.7)

期待値

E(G) = 40·0.25 + 90·0.05 − 10·0.7 = 7.5 €

答え

E(G) = 7.5 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

5.正規分布

答え: P = 0.9306

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

標準化する

z = (28.3 − 32)/2.5 = −1.48

上側確率

P = 1 − Φ(−1.48) = 1 − 0.06944 = 0.9306

答え

P = 0.9306
6.正規分布

答え: x = 176.3 cm

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.4

表からの z

z ≈ −0.25

元の単位に戻す

x = 178 − 0.25·7 = 176.3 cm

答え

x = 176.3 cm
7.信頼区間

答え: E = 20.69

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 8, t = 3.355

誤差の幅

E = 3.355·18.5/√9 = 20.69

答え

E = 20.69
8.信頼区間

答え: n = 1692

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.645·25/1)² = 1691

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 1692

答え

n = 1692
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 0.998

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 5.6/√13 = 1.553

検定統計量

t = 1.55/1.553 = 0.998

答え

t = 0.998

df = 12 のとき、両側 5% の臨界値は 2.179 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: 1 − β = 60.8 %

検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

臨界標本平均

SE = 12/√64 = 1.5
x̄c = 80 + 2.326·1.5 = 83.49

真の平均のもとでの z

z = (83.49 − 83.9)/1.5 = −0.274

電力

検出力 = P(Z > −0.274) = 60.8%
1 − β = 60.8%

答え

1 − β = 60.8%
11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9548

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 61/5 = 12.2

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52
Syy = Σ(y − ȳ)² = 70.8

決定係数

r² = 52²/(40·70.8) = 0.9548

答え

r² = 0.9548

y の変動の約 95.48% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 14.75

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 89/5 = 17.8

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122

回帰直線

b = 122/40 = 3.05
a = 17.8 − 3.05·6 = −0.5
ŷ = −0.5 + 3.05·x

予測

ŷ = −0.5 + 3.05·5 = 14.75

答え

ŷ = 14.75

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