記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：58, 50, 38, 48, 59。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 60、標準偏差 10 の正規分布に従います。52 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 60σ = 10x = 52
P =
3.確率ふつう
6 人のグループから 3 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 6k = 3
N =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 5 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 5p = 0.5k = 2
P =
5.正規分布ふつう
X は平均 120 mm、標準偏差 0.3 mm の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 80 mm、標準偏差 0.4 mm の正規分布に従います。X + Y が 199.8 mm を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 199.8 mm
P =
6.正規分布むずかしい
成人男性の身長 は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。色つきの下位 20% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 178 cmσ = 7 cm20%
x = cm
7.信頼区間ふつう
21 個からなる標本の平均は 47、標準偏差は s = 7.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 21x̄ = 47s = 7.599%t(20) = 2.845
E =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 9 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 1.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 9E = 1.599%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：60 個の部品の標本の平均長さは 137.5 mm で、ラインの既知の標準偏差は 3 mm です。ライン 2：30 個の部品の標本の平均は 144.1 mm、既知の標準偏差は 15 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。
n₁ = 60x̄₁ = 137.5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 30x̄₂ = 144.1 mmσ₂ = 15 mm
z =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
16 回の測定の標本平均は 52.4 です。母標準偏差は 4 です。平均の 90% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 52.4σ = 4n = 1690%
U =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 10 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 10
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 8.532
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 253/5 = 50.6
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 7.4² + (−0.6)² + (−12.6)² + (−2.6)² + 8.4² = 291.2
標準偏差
s = √(291.2/4) = 8.532
答え
s = 8.532
2.記述統計
答え: P = 0.2119
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −0.8
標準正規分布表
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
答え
P = 0.2119
3.確率
答え: N = 20
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20
答え
N = 20
4.確率
答え: P = 0.3125
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 2) = 10·0.52·0.53 = 10·0.25·0.125 = 0.3125
答え
P = 0.3125
5.正規分布
答え: P = 0.6554
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
和の分布
μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm
標準化する
z = (199.8 − 200)/0.5 = −0.4
上側確率
P = 1 − Φ(−0.4) = 1 − 0.3446 = 0.6554
答え
P = 0.6554
6.正規分布
答え: x = 172.1 cm
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.2
表からの z
z ≈ −0.84
元の単位に戻す
x = 178 − 0.84·7 = 172.1 cm
答え
x = 172.1 cm
7.信頼区間
答え: E = 4.656
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 20, t = 2.845
誤差の幅
E = 2.845·7.5/√21 = 4.656
答え
E = 4.656
8.信頼区間
答え: n = 239
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·9/1.5)² = 238.9
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 239
答え
n = 239
9.仮説検定と信頼区間
答え: z = −2.386
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差の標準誤差
SE = √(3²/60 + 15²/30) = √7.65 = 2.766
検定統計量
z = (137.5 − 144.1)/2.766 = −2.386
答え
z = −2.386
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: U = 54.05
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 1.645·4/√16 = 1.645
区間の端
U = 52.4 + 1.645 = 54.05
答え
U = 54.05
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9937
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 479/5 = 95.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 420
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1985
相関係数
r = 420/√(90·1985) = 0.9937
答え
r = 0.9937
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 74.38
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 364/6 = 60.67
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240
回帰直線
b = 240/70 = 3.429
a = 60.67 − 3.429·6 = 40.1
ŷ = 40.1 + 3.429·x
予測
ŷ = 40.1 + 3.429·10 = 74.38
答え
ŷ = 74.38
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