記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：15, 57, 54, 17, 25。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 70、標準偏差 10 の正規分布に従います。50 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 70σ = 10x = 50
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.15, 0.35, 0.15
Var(X) =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 7 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.1 で正解します。ちょうど 5 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 7p = 0.1k = 5
P =
5.正規分布ふつう
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。164 から 188.5 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 178σ = 7x1 = 164x2 = 188.5
P =
6.正規分布むずかしい
ある集団の男性の身長 X と女性の身長 Y は独立な正規変数です：X は平均 180 cm、標準偏差 10 cm、Y は平均 170 cm、標準偏差 12 cm です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.信頼区間ふつう
8 個からなる標本の平均は 100.5、標準偏差は s = 19 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 8x̄ = 100.5s = 1999%t(7) = 3.499
上限 =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 20 本の軸の直径の標本標準偏差は 5.2 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 19 のとき、χ² 分布の 2.5% は 8.907 より下に、2.5% は 32.852 より上にあります。
n = 20s = 5.2 µmχ² = 8.907, 32.852
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 47.83、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 50x̄ = 47.83s = 5n = 36
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 50 対 H₁: μ < 50 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 25 であることがわかっています。実際の平均は 46.25 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 50μ = 46.25σ = 25n = 100α = 0.05
β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (3, 58) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(3, 58)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 20.37
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 168/5 = 33.6
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−18.6)² + 23.4² + 20.4² + (−16.6)² + (−8.6)² = 1659
標準偏差
s = √(1659/4) = 20.37
答え
s = 20.37
2.記述統計
答え: z = −2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (50 − 70)/10 = −2
答え
z = −2
3.確率
答え: Var(X) = 121
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.35 + 20·0.15 + 30·0.35 + 40·0.15 = 23
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.35 + 400·0.15 + 900·0.35 + 1600·0.15 = 650
分散
Var(X) = 650 − 23² = 121
答え
Var(X) = 121
4.確率
答え: P = 0.0001701
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 5) = 21·0.15·0.92 = 21·1 × 10⁻⁵·0.81 = 0.0001701
答え
P = 0.0001701
5.正規分布
答え: P = 0.9104
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (164 − 178)/7 = −2
z₂ = (188.5 − 178)/7 = 1.5
間の面積
P = Φ(1.5) − Φ(−2) = 0.9332 − 0.02275 = 0.9104
答え
P = 0.9104
6.正規分布
答え: P = 0.7389
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
標準化する
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
確率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答え
P = 0.7389
7.信頼区間
答え: 上限 = 124
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 7, t = 3.499
誤差の幅
E = 3.499·19/√8 = 23.5
区間
100.5 ± 23.5 → [77, 124]
答え
上限 = 124
8.信頼区間
答え: σ = 3.955 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 19·5.2² = 513.8
σ² の限界
513.8/32.852 = 15.64
513.8/8.907 = 57.68
σ の限界
σ = √15.64 = 3.955 µm
答え
σ = 3.955 µm
σ の 95% 区間：[3.955, 7.595] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.604
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 5/√36 = 5/6 = 0.8333
検定統計量
t = (47.83 − 50)/0.8333 = −2.604
答え
t = −2.604
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: β = 55.76 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 25/√100 = 2.5
x̄c = 50 − 1.645·2.5 = 45.89
真の平均のもとでの z
z = (45.89 − 46.25)/2.5 = −0.145
第 2 種の誤り
検出力 = P(Z < −0.145) = 44.24%
β = 100% − 44.24% = 55.76%
答え
β = 55.76%
11.線形回帰と相関
答え: r = −0.9095
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 132/5 = 26.4
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15
Syy = Σ(y − ȳ)² = 27.2
相関係数
r = −15/√(10·27.2) = −0.9095
答え
r = −0.9095
12.線形回帰と相関
答え: e = 3.095
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 422/6 = 70.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 270
回帰直線
b = 270/70 = 3.857
a = 70.33 − 3.857·7 = 43.33
ŷ = 43.33 + 3.857·x
予測値
ŷ = 43.33 + 3.857·3 = 54.9
残差
e = 58 − 54.9 = 3.095
答え
e = 3.095
点は直線より上にあります。
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