記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：23, 18, 14, 38, 25, 50, 46。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 170、標準偏差 5 の正規分布に従います。175 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 170σ = 5x = 175
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.3, 0.2, 0.2
σ =
4.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = 10X + 1 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.15, 0.3, 0.35Y = 10X + 1
σY =
5.正規分布ふつう
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。29.3 から 42.8 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 32σ = 6x1 = 29.3x2 = 42.8
P =
6.正規分布むずかしい
試験の得点 は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。色つきの上位 60% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 65 点σ = 10 点60%
x = 点
7.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：100 台、平均 140 h、既知の標準偏差 15 h。機種 2：80 台、平均 128.5 h、既知の標準偏差 14 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 100x̄₁ = 140 hσ₁ = 15 hn₂ = 80x̄₂ = 128.5 hσ₂ = 14 h90%
E = h
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 36 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 36E = 0.590%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 64 人の標本の平均点は 99.44、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 100x̄ = 99.44s = 5n = 64
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
16 回の測定の標本平均は 195.1 です。母標準偏差は 15 です。平均の 90% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
x̄ = 195.1σ = 15n = 1690%
L =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 6
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (5.5, 16) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(5.5, 16)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 14.09
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 214/7 = 30.57
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−7.571)² + (−12.57)² + (−16.57)² + 7.429² + (−5.571)² + 19.43² + 15.43² = 1192
標準偏差
s = √(1192/6) = 14.09
答え
s = 14.09
2.記述統計
答え: P = 0.8413
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 1
標準正規分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
答え
P = 0.8413
3.確率
答え: σ = 11
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.3 + 20·0.3 + 30·0.2 + 40·0.2 = 23
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.3 + 400·0.3 + 900·0.2 + 1600·0.2 = 650
分散
Var(X) = 650 − 23² = 121
σ = √121 = 11
答え
σ = 11
4.確率
答え: σY = 22.45
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 3.6, Var(X) = 5.04, σX = 2.245
一次変換
σY = |10|·2.245 = 22.45
答え
σY = 22.45
平均は変化します：E(Y) = 10·3.6 + 1 = 37。
5.正規分布
答え: P = 0.6377
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (29.3 − 32)/6 = −0.45
z₂ = (42.8 − 32)/6 = 1.8
間の面積
P = Φ(1.8) − Φ(−0.45) = 0.9641 − 0.3264 = 0.6377
答え
P = 0.6377
6.正規分布
答え: x = 62.5 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.4
表からの z
z ≈ −0.25
元の単位に戻す
x = 65 − 0.25·10 = 62.5 点
答え
x = 62.5 点
7.信頼区間
答え: E = 3.566 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 140 − 128.5 = 11.5
標準誤差
SE = √(15²/100 + 14²/80) = 2.168
誤差の幅
E = 1.645·2.168 = 3.566
答え
E = 3.566 h
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
8.信頼区間
答え: n = 14029
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·36/0.5)² = 14028
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 14029
答え
n = 14029
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −0.896
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625
検定統計量
t = (99.44 − 100)/0.625 = −0.896
答え
t = −0.896
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: L = 188.9
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 1.645·15/√16 = 6.169
区間の端
L = 195.1 − 6.169 = 188.9
答え
L = 188.9
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9736
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 108/6 = 18
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154
Syy = Σ(y − ȳ)² = 348
決定係数
r² = 154²/(70·348) = 0.9736
答え
r² = 0.9736
y の変動の約 97.36% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: e = −2.486
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 126/6 = 21
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
回帰直線
b = −22/17.5 = −1.257
a = 21 − (−1.257)·3.5 = 25.4
ŷ = 25.4 − 1.257·x
予測値
ŷ = 25.4 + (−1.257)·5.5 = 18.49
残差
e = 16 − 18.49 = −2.486
答え
e = −2.486
点は直線より下にあります。
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