統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
152025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい：16, 15, 51, 12, 12, 56。

n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 60、標準偏差 12 の正規分布に従います。72 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 60σ = 12x = 72
z =
3.確率ふつう
赤: 4青: 3

袋に赤玉 4 個と青玉 3 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

4 / 3
P =
4.確率むずかしい
€p(x)−20.8340.15180.02

ゲームの参加費は €2 です。確率 0.15 で €6、確率 0.02 で €20 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €2€6: p = 0.15€20: p = 0.02
E(G) = €
5.正規分布ふつう
49.585P = ?

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。49.5 から 85 点 の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 65σ = 10x1 = 49.5x2 = 85
P =
6.正規分布むずかしい
557085100115130145点上端 20%

IQ スコア は、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。色つきの上位 20% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 100 点σ = 15 点20%
x = 点
7.信頼区間ふつう
x̄E₁ = 6.990%, n = 100x̄E₂ = ?95%, n = 400

σ が既知のもとで 100 個の観測値に基づく平均の 90% 信頼区間の誤差の幅は 6.9 です。 400 個の観測値に基づく 95% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？

90%n₁ = 100E₁ = 6.995%n₂ = 400
E₂ =
8.信頼区間むずかしい
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

母標準偏差は 10 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 10E = 390%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
t −1.99801.998

学生 64 人の標本の平均点は 120.7、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 120.7s = 8n = 64
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −1.64501.645

36 回の測定の標本平均は 498.8 です。母標準偏差は 5 です。平均の 90% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 498.8σ = 5n = 3690%
U =
11.線形回帰と相関ふつう
xy33454474995311671376xy510406080

表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 48Σy = 323Σx² = 454Σy² = 18567Σxy = 2867
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy343442553661766xy465060x = 5.5

表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 5.5 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 5x = 5.5
ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 20.65

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 162/6 = 27

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−11)² + (−12)² + 24² + (−15)² + (−15)² + 29² = 2132

標準偏差

s = √(2132/5) = 20.65

答え

s = 20.65
2.記述統計

答え: z = 1

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (72 − 60)/12 = 1

答え

z = 1
3.確率

答え: P = 0.2857

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 4/7 · 3/6 = 12/42 = 0.2857

答え

P = 0.2857
4.確率

答え: E(G) = −0.7 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 4 (p = 0.15), 18 (p = 0.02), −2 (p = 0.83)

期待値

E(G) = 4·0.15 + 18·0.02 − 2·0.83 = −0.7 €

答え

E(G) = −0.7 €

負の値は、平均して損をすることを意味します。

5.正規分布

答え: P = 0.9167

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (49.5 − 65)/10 = −1.55
z₂ = (85 − 65)/10 = 2

間の面積

P = Φ(2) − Φ(−1.55) = 0.9772 − 0.06057 = 0.9167

答え

P = 0.9167
6.正規分布

答え: x = 112.6 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.8

表からの z

z ≈ 0.84

元の単位に戻す

x = 100 + 0.84·15 = 112.6 点

答え

x = 112.6 点
7.信頼区間

答え: E₂ = 4.111

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

誤差の幅の比

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(100/400) = 0.5957

新しい誤差の幅

E₂ = 6.9·0.5957 = 4.111

答え

E₂ = 4.111
8.信頼区間

答え: n = 31

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.645·10/3)² = 30.07

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 31

答え

n = 31
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 0.7

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

検定統計量

t = (120.7 − 120)/1 = 0.7

答え

t = 0.7
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| < 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: U = 500.2

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

誤差の幅

E = 1.645·5/√36 = 1.371

区間の端

U = 498.8 + 1.371 = 500.2

答え

U = 500.2
11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9852

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

Sxy = 2867 − 48·323/6 = 283
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 18567 − 323²/6 = 1179

相関係数

r = 283/√(70·1179) = 0.9852

答え

r = 0.9852
12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 56.25

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 265/5 = 53

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65

回帰直線

b = 65/10 = 6.5
a = 53 − 6.5·5 = 20.5
ŷ = 20.5 + 6.5·x

予測

ŷ = 20.5 + 6.5·5.5 = 56.25

答え

ŷ = 56.25

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1