記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：32, 27, 46, 56, 31, 47。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 70、標準偏差 20 の正規分布に従います。78 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 70σ = 20x = 78
z =
3.確率ふつう
8 人のグループから 5 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 8k = 5
N =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 12 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 4 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 12p = 0.5k = 4
P =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.9192 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.9192
z =
6.正規分布むずかしい
試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。全体の 5% がそれより下にある値 x（第 5 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 65σ = 10P = 5%
x = 点
7.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：100 台、平均 56 h、既知の標準偏差 8 h。機種 2：40 台、平均 51 h、既知の標準偏差 5 h。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 100x̄₁ = 56 hσ₁ = 8 hn₂ = 40x̄₂ = 51 hσ₂ = 5 h95%
下限 = h
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 10 本の軸の直径の標本標準偏差は 2 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 9 のとき、χ² 分布の 2.5% は 2.7 より下に、2.5% は 19.023 より上にあります。
n = 10s = 2 µmχ² = 2.7, 19.023
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
ある母集団の平均は 50 であると主張されています。母標準偏差は 24 であることがわかっています。144 個の観測値からなる無作為標本の平均は 53.88 です。H₀: μ = 50 対 H₁: μ > 50 を検定します。p 値 p を求めなさい。
μ₀ = 50σ = 24n = 144x̄ = 53.88H₁: μ > μ₀
p =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 100 人中 70 人、治療 B の患者 100 人中 79 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 70n₁ = 100x₂ = 79n₂ = 100
z =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 3.5 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 5x = 3.5
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 11.44
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 239/6 = 39.83
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−7.833)² + (−12.83)² + 6.167² + 16.17² + (−8.833)² + 7.167² = 654.8
標準偏差
s = √(654.8/5) = 11.44
答え
s = 11.44
2.記述統計
答え: z = 0.4
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (78 − 70)/20 = 0.4
答え
z = 0.4
3.確率
答え: N = 56
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56
答え
N = 56
4.確率
答え: P = 0.1208
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 4) = 495·0.54·0.58 = 495·0.0625·0.003906 = 0.1208
答え
P = 0.1208
5.正規分布
答え: z = −1.4
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.9192 = 0.0808
z 表を逆に読む
表の中で 0.0808 を見つけ、z を読み取ります。
z = −1.40
答え
z = −1.40
6.正規分布
答え: x = 48.55 点
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
x に戻す
x = 65 + −1.645·10 = 48.55 点
答え
x = 48.55 点
7.信頼区間
答え: 下限 = 2.796 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 56 − 51 = 5
標準誤差
SE = √(8²/100 + 5²/40) = 1.125
誤差の幅
E = 1.96·1.125 = 2.204
区間
5 ± 2.204 → [2.796, 7.204]
答え
下限 = 2.796 h
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
8.信頼区間
答え: σ = 1.376 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 9·2² = 36
σ² の限界
36/19.023 = 1.892
36/2.7 = 13.33
σ の限界
σ = √1.892 = 1.376 µm
答え
σ = 1.376 µm
σ の 95% 区間：[1.376, 3.651] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.02619
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
検定統計量
SE = σ/√n = 24/√144 = 2
z = (53.88 − 50)/2 = 1.94
裾の面積
Φ(1.94) = 0.9738
1 − Φ(1.94) = 0.0262
p 値
p = 0.02619
答え
p = 0.02619
p ≤ 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: z = −1.46
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
標本比率
p̂₁ = 70/100 = 0.7
p̂₂ = 79/100 = 0.79
p̂ = 149/200 = 0.745
H₀ のもとでの標準誤差
SE = √(0.745·0.255·(1/100 + 1/100)) = 0.06164
検定統計量
z = (0.7 − 0.79)/0.06164 = −1.46
答え
z = −1.46
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9402
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 376/5 = 75.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146
Syy = Σ(y − ȳ)² = 602.8
相関係数
r = 146/√(40·602.8) = 0.9402
答え
r = 0.9402
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 18.8
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 99/5 = 19.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20
回帰直線
b = −20/10 = −2
a = 19.8 − (−2)·3 = 25.8
ŷ = 25.8 − 2·x
予測
ŷ = 25.8 + (−2)·3.5 = 18.8
答え
ŷ = 18.8
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1