統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：19, 21, 40, 30, 21, 55, 12。

n = 7

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 50、標準偏差 10 の正規分布に従います。62.5 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 50σ = 10x = 62.5

P =

3.確率ふつう

袋に赤玉 7 個と青玉 9 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

7 / 9

P =

4.確率むずかしい

部品を 10 個試験し、各部品は独立に確率 0.6 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 10p = 0.6

P =

5.正規分布ふつう

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。20 から 36.8 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 36.8

P =

6.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。色つきの上位 85% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 65 点σ = 10 点85%

x = 点

7.信頼区間ふつう

16 個からなる標本の平均は 91.5、標準偏差は s = 17.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 16x̄ = 91.5s = 17.590%t(15) = 1.753

上限 =

8.信頼区間むずかしい

予備調査によると、製品の約 0.3 が不良品です。割合の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.01 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？

p ≈ 0.3E = 0.0199%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 16 人の標本の平均点は 94.6、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 100x̄ = 94.6s = 12n = 16

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 1.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 12 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 12E = 1.599%

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 10 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 6x = 10

ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 14.78

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 198/7 = 28.29

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−9.286)² + (−7.286)² + 11.71² + 1.714² + (−7.286)² + 26.71² + (−16.29)² = 1311

標準偏差

s = √(1311/6) = 14.78

答え

s = 14.78

2.記述統計

答え: P = 0.8944

標準化する

z = 1.25

標準正規分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

答え

P = 0.8944

3.確率

答え: P = 0.175

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0.175

答え

P = 0.175

4.確率

答え: P = 0.001678

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.4¹⁰ = 0.0001049

P(X = 1) = 10·0.6·0.4⁹ = 0.001573

足し合わせる

P = 0.0001049 + 0.001573 = 0.001678

答え

P = 0.001678

5.正規分布

答え: P = 0.7654

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (36.8 − 32)/6 = 0.8

間の面積

P = Φ(0.8) − Φ(−2) = 0.7881 − 0.02275 = 0.7654

答え

P = 0.7654

6.正規分布

答え: x = 54.6 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.15

表からの z

z ≈ −1.04

元の単位に戻す

x = 65 − 1.04·10 = 54.6 点

答え

x = 54.6 点

7.信頼区間

答え: 上限 = 99.17

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 15, t = 1.753

誤差の幅

E = 1.753·17.5/√16 = 7.669

区間

91.5 ± 7.669 → [83.83, 99.17]

答え

上限 = 99.17

8.信頼区間

答え: n = 13936

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 2.576²·0.3·0.7/0.01² = 13935

切り上げる

n = 13936

答え

n = 13936

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.8

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

検定統計量

t = (94.6 − 100)/3 = −1.8

答え

t = −1.8

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 425

n について解く

n = (2.576·12/1.5)² = 424.7

切り上げる

n = 425

答え

n = 425

11.線形回帰と相関

答え: r = −0.8151

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 141/6 = 23.5

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 47.5

相関係数

r = −23.5/√(17.5·47.5) = −0.8151

答え

r = −0.8151

12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 102.8

平均

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 537/6 = 89.5

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 467

回帰直線

b = 467/70 = 6.671

a = 89.5 − 6.671·8 = 36.13

ŷ = 36.13 + 6.671·x

予測

ŷ = 36.13 + 6.671·10 = 102.8

答え

ŷ = 102.8

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1