記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：46, 54, 46, 22, 20, 30。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 50、標準偏差 8 の正規分布に従います。42 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 50σ = 8x = 42
z =
3.確率ふつう
袋に赤玉 4 個と青玉 5 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
4 / 5
P =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €5 です。確率 0.25 で €25、確率 0.02 で €250 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €5€25: p = 0.25€250: p = 0.02
E(G) = €
5.正規分布ふつう
X は平均 250 g、標準偏差 4 g の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 500 g、標準偏差 9 g の正規分布に従います。X + Y が 764.8 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 764.8 g
P =
6.正規分布むずかしい
IQ スコア は、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。色つきの上位 60% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 100 点σ = 15 点60%
x = 点
7.信頼区間ふつう
25 個からなる標本の平均は 10.5、標準偏差は s = 20 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 25x̄ = 10.5s = 2099%t(24) = 2.797
下限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 35 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 35E = 195%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：5 人の学生、平均点 70、標準偏差 8.5。グループ 2：12 人の学生、平均点 66、標準偏差 2。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 5x̄₁ = 70s₁ = 8.5n₂ = 12x̄₂ = 66s₂ = 2
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 1.5 単位のずれを検出力 95% で検出しなければなりません。標準偏差は 10 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.05検出力 = 95%δ = 1.5σ = 10zα = 1.645zβ = 1.645
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6Σx = 114Σy = 528Σx² = 2236Σy² = 48276Σxy = 10384
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 20 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 6ŷ = 20
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 14.22
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 218/6 = 36.33
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 9.667² + 17.67² + 9.667² + (−14.33)² + (−16.33)² + (−6.333)² = 1011
標準偏差
s = √(1011/5) = 14.22
答え
s = 14.22
2.記述統計
答え: z = −1
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (42 − 50)/8 = −1
答え
z = −1
3.確率
答え: P = 0.1667
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0.1667
答え
P = 0.1667
4.確率
答え: E(G) = 6.25 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 20 (p = 0.25), 245 (p = 0.02), −5 (p = 0.73)
期待値
E(G) = 20·0.25 + 245·0.02 − 5·0.73 = 6.25 €
答え
E(G) = 6.25 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
5.正規分布
答え: P = 0.06681
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
和の分布
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g
標準化する
z = (764.8 − 750)/9.849 = 1.5
上側確率
P = 1 − Φ(1.5) = 1 − 0.9332 = 0.06681
答え
P = 0.06681
6.正規分布
答え: x = 96.3 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.4
表からの z
z ≈ −0.25
元の単位に戻す
x = 100 − 0.25·15 = 96.3 点
答え
x = 96.3 点
7.信頼区間
答え: 下限 = −0.688
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 24, t = 2.797
誤差の幅
E = 2.797·20/√25 = 11.19
区間
10.5 ± 11.19 → [−0.688, 21.69]
答え
下限 = −0.688
8.信頼区間
答え: n = 4706
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.96·35/1)² = 4706
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 4706
答え
n = 4706
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.595
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散
sp² = (4·8.5² + 11·2²)/15 = 22.2
sp = 4.712
標準誤差
SE = 4.712·√(1/5 + 1/12) = 2.508
検定統計量
t = (70 − 66)/2.508 = 1.595
答え
t = 1.595
df = 15 のとき、両側 5% の臨界値は 2.131 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 482
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((1.645 + 1.645)·10/1.5)² = 481.1
切り上げる
n = 482
答え
n = 482
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9884
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 10384 − 114·528/6 = 352
Sxx = 2236 − 114²/6 = 70
Syy = 48276 − 528²/6 = 1812
相関係数
r = 352/√(70·1812) = 0.9884
答え
r = 0.9884
12.線形回帰と相関
答え: x = 4.5
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 132/6 = 22
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
回帰直線
b = −35/17.5 = −2
a = 22 − (−2)·3.5 = 29
ŷ = 29 − 2·x
x について解く
x = (20 − 29)/(−2) = 4.5
答え
x = 4.5
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1