記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：23, 30, 22, 37, 13。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 60、標準偏差 20 の正規分布に従います。40 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 60σ = 20x = 40
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.25, 0.05, 0.15, 0.2
σ =
4.確率むずかしい
部品を 6 個試験し、各部品は独立に確率 0.4 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 6p = 0.4
P =
5.正規分布ふつう
電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。470 から 532 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 500σ = 40x1 = 470x2 = 532
P =
6.正規分布むずかしい
袋の重さ は、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの下位 90% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 250 gσ = 5 g90%
x = g
7.信頼区間ふつう
21 個からなる標本の平均は 40、標準偏差は s = 8 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 21x̄ = 40s = 895%t(20) = 2.086
下限 =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 21 本の軸の直径の標本標準偏差は 2.9 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 20 のとき、χ² 分布の 2.5% は 9.591 より下に、2.5% は 34.17 より上にあります。
n = 21s = 2.9 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 25 人の標本の平均点は 505.1、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 500x̄ = 505.1s = 15n = 25
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 100 対 H₁: μ < 100 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 5 であることがわかっています。実際の平均は 98.65 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 100μ = 98.65σ = 5n = 100α = 0.10
β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6Σx = 33Σy = 385Σx² = 199Σy² = 24923Σxy = 2169
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (10, 64) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(10, 64)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 9.028
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 125/5 = 25
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−2)² + 5² + (−3)² + 12² + (−12)² = 326
標準偏差
s = √(326/4) = 9.028
答え
s = 9.028
2.記述統計
答え: z = −1
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (40 − 60)/20 = −1
答え
z = −1
3.確率
答え: σ = 1.562
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 1·0.35 + 2·0.25 + 3·0.05 + 4·0.15 + 5·0.2 = 2.6
2 乗の平均
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.25 + 9·0.05 + 16·0.15 + 25·0.2 = 9.2
分散
Var(X) = 9.2 − 2.6² = 2.44
σ = √2.44 = 1.562
答え
σ = 1.562
4.確率
答え: P = 0.2333
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.66 = 0.04666
P(X = 1) = 6·0.4·0.65 = 0.1866
足し合わせる
P = 0.04666 + 0.1866 = 0.2333
答え
P = 0.2333
5.正規分布
答え: P = 0.5615
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (470 − 500)/40 = −0.75
z₂ = (532 − 500)/40 = 0.8
間の面積
P = Φ(0.8) − Φ(−0.75) = 0.7881 − 0.2266 = 0.5615
答え
P = 0.5615
6.正規分布
答え: x = 256.4 g
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.9
表からの z
z ≈ 1.28
元の単位に戻す
x = 250 + 1.28·5 = 256.4 g
答え
x = 256.4 g
7.信頼区間
答え: 下限 = 36.36
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 20, t = 2.086
誤差の幅
E = 2.086·8/√21 = 3.642
区間
40 ± 3.642 → [36.36, 43.64]
答え
下限 = 36.36
8.信頼区間
答え: σ = 2.219 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 20·2.9² = 168.2
σ² の限界
168.2/34.17 = 4.922
168.2/9.591 = 17.54
σ の限界
σ = √4.922 = 2.219 µm
答え
σ = 2.219 µm
σ の 95% 区間：[2.219, 4.188] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.7
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 15/√25 = 15/5 = 3
検定統計量
t = (505.1 − 500)/3 = 1.7
答え
t = 1.7
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: β = 7.81 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 5/√100 = 0.5
x̄c = 100 − 1.282·0.5 = 99.36
真の平均のもとでの z
z = (99.36 − 98.65)/0.5 = 1.418
第 2 種の誤り
検出力 = P(Z < 1.418) = 92.19%
β = 100% − 92.19% = 7.81%
答え
β = 7.81%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.8322
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 2169 − 33·385/6 = 51.5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17.5
Syy = 24923 − 385²/6 = 218.8
相関係数
r = 51.5/√(17.5·218.8) = 0.8322
答え
r = 0.8322
12.線形回帰と相関
答え: e = −4.324
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 340/6 = 56.67
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204
回帰直線
b = 204/70 = 2.914
a = 56.67 − 2.914·6 = 39.18
ŷ = 39.18 + 2.914·x
予測値
ŷ = 39.18 + 2.914·10 = 68.32
残差
e = 64 − 68.32 = −4.324
答え
e = −4.324
点は直線より下にあります。
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1