記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：55, 10, 47, 51, 41, 36, 50。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 500、標準偏差 60 の正規分布に従います。440 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 500σ = 60x = 440
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.35, 0.15, 0.15
σ =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 10 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.1 で正解します。ちょうど 3 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 10p = 0.1k = 3
P =
5.正規分布ふつう
セメント袋 の質量は互いに独立で、平均 25 kg、標準偏差 0.5 kg の正規分布に従います。そのうち 12 個の合計質量が 300.9 kg を下回る確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 12< 300.9 kg
P =
6.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.05 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.05 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.信頼区間ふつう
11 個からなる標本の平均は 75.5、標準偏差は s = 16 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 11x̄ = 75.5s = 1695%t(10) = 2.228
E =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 7 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 7E = 190%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：12 人の学生、平均点 43、標準偏差 5.5。グループ 2：19 人の学生、平均点 46.3、標準偏差 7。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 12x̄₁ = 43s₁ = 5.5n₂ = 19x̄₂ = 46.3s₂ = 7
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 80 人中 24 人、治療 B の患者 250 人中 53 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 24n₁ = 80x₂ = 53n₂ = 250
z =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 6
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (5, 13) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(5, 13)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 15.26
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 290/7 = 41.43
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 13.57² + (−31.43)² + 5.571² + 9.571² + (−0.4286)² + (−5.429)² + 8.571² = 1398
標準偏差
s = √(1398/6) = 15.26
答え
s = 15.26
2.記述統計
答え: P = 0.1587
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1
標準正規分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587
答え
P = 0.1587
3.確率
答え: σ = 10.44
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.35 + 20·0.35 + 30·0.15 + 40·0.15 = 21
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.35 + 400·0.35 + 900·0.15 + 1600·0.15 = 550
分散
Var(X) = 550 − 21² = 109
σ = √109 = 10.44
答え
σ = 10.44
4.確率
答え: P = 0.0574
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 3) = 120·0.13·0.97 = 120·0.001·0.4783 = 0.0574
答え
P = 0.0574
5.正規分布
答え: P = 0.6985
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
合計の分布
μT = 300 kg, σT = 0.5·√12 = 1.732 kg
標準化する
z = (300.9 − 300)/1.732 = 0.52
確率
P = Φ(0.52) = 0.6985
答え
P = 0.6985
6.正規分布
答え: P = 0.9875
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02236 mm
標準化する
z = (0 − 0.05)/0.02236 = −2.24
確率
P = 1 − Φ(−2.24) = 0.9875
答え
P = 0.9875
7.信頼区間
答え: E = 10.75
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 10, t = 2.228
誤差の幅
E = 2.228·16/√11 = 10.75
答え
E = 10.75
8.信頼区間
答え: n = 133
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·7/1)² = 132.6
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 133
答え
n = 133
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.383
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散
sp² = (11·5.5² + 18·7²)/29 = 41.89
sp = 6.472
標準誤差
SE = 6.472·√(1/12 + 1/19) = 2.386
検定統計量
t = (43 − 46.3)/2.386 = −1.383
答え
t = −1.383
df = 29 のとき、両側 5% の臨界値は 2.045 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: z = 1.62
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
標本比率
p̂₁ = 24/80 = 0.3
p̂₂ = 53/250 = 0.212
p̂ = 77/330 = 0.2333
H₀ のもとでの標準誤差
SE = √(0.2333·0.7667·(1/80 + 1/250)) = 0.05433
検定統計量
z = (0.3 − 0.212)/0.05433 = 1.62
答え
z = 1.62
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.8448
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 258/6 = 43
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53
Syy = Σ(y − ȳ)² = 190
決定係数
r² = 53²/(17.5·190) = 0.8448
答え
r² = 0.8448
y の変動の約 84.48% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: e = −4.362
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 146/6 = 24.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244
回帰直線
b = 244/70 = 3.486
a = 24.33 − 3.486·7 = −0.06667
ŷ = −0.06667 + 3.486·x
予測値
ŷ = −0.06667 + 3.486·5 = 17.36
残差
e = 13 − 17.36 = −4.362
答え
e = −4.362
点は直線より下にあります。
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