記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：32, 14, 22, 10, 33, 26。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 60、標準偏差 8 の正規分布に従います。53.6 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 60σ = 8x = 53.6
z =
3.確率ふつう
公正なさいころを 7 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 7
P =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 11 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.4 で正解します。ちょうど 4 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 11p = 0.4k = 4
P =
5.正規分布ふつう
袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。242.75 から 252.5 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 250σ = 5x1 = 242.75x2 = 252.5
P =
6.正規分布むずかしい
IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。全体の 90% がそれより下にある値 x（第 90 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 100σ = 15P = 90%
x = 点
7.信頼区間ふつう
21 個からなる標本の平均は 94、標準偏差は s = 11 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 21x̄ = 94s = 1190%t(20) = 1.725
上限 =
8.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：17 区画、平均収量 92 kg、標準偏差 9.5 kg。区画群 2：14 区画、平均 100 kg、標準偏差 4 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 17x̄₁ = 92s₁ = 9.5n₂ = 14x̄₂ = 100s₂ = 499%t(29) = 2.756
E = kg
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 25 人の標本の平均点は 74.1、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75x̄ = 74.1s = 5n = 25
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 50 対 H₁: μ > 50 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 12.5 であることがわかっています。実際の平均は 57.25 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 50μ = 57.25σ = 12.5n = 25α = 0.10
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 30Σy = 429Σx² = 220Σy² = 38591Σxy = 2836
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (8, 66) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(8, 66)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 9.39
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 137/6 = 22.83
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 9.167² + (−8.833)² + (−0.8333)² + (−12.83)² + 10.17² + 3.167² = 440.8
標準偏差
s = √(440.8/5) = 9.39
答え
s = 9.39
2.記述統計
答え: z = −0.8
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (53.6 − 60)/8 = −0.8
答え
z = −0.8
3.確率
答え: P = 0.7209
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209
答え
P = 0.7209
4.確率
答え: P = 0.2365
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 4) = 330·0.44·0.67 = 330·0.0256·0.02799 = 0.2365
答え
P = 0.2365
5.正規分布
答え: P = 0.6179
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (242.75 − 250)/5 = −1.45
z₂ = (252.5 − 250)/5 = 0.5
間の面積
P = Φ(0.5) − Φ(−1.45) = 0.6915 − 0.07353 = 0.6179
答え
P = 0.6179
6.正規分布
答え: x = 119.2 点
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
x に戻す
x = 100 + 1.282·15 = 119.22 点
答え
x = 119.22 点
7.信頼区間
答え: 上限 = 98.14
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 20, t = 1.725
誤差の幅
E = 1.725·11/√21 = 4.141
区間
94 ± 4.141 → [89.86, 98.14]
答え
上限 = 98.14
8.信頼区間
答え: E = 7.507 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差
sp² = (16·9.5² + 13·4²)/29 = 56.97
sp = 7.548
誤差の幅
E = 2.756·7.548·√(1/17 + 1/14) = 7.507
答え
E = 7.507 kg
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −0.9
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
検定統計量
t = (74.1 − 75)/1 = −0.9
答え
t = −0.9
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 94.72 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 12.5/√25 = 2.5
x̄c = 50 + 1.282·2.5 = 53.2
真の平均のもとでの z
z = (53.2 − 57.25)/2.5 = −1.618
電力
検出力 = P(Z > −1.618) = 94.72%
1 − β = 94.72%
答え
1 − β = 94.72%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9811
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 2836 − 30·429/5 = 262
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 38591 − 429²/5 = 1783
相関係数
r = 262/√(40·1783) = 0.9811
答え
r = 0.9811
12.線形回帰と相関
答え: e = 1.7
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 254/5 = 50.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180
回帰直線
b = 180/40 = 4.5
a = 50.8 − 4.5·5 = 28.3
ŷ = 28.3 + 4.5·x
予測値
ŷ = 28.3 + 4.5·8 = 64.3
残差
e = 66 − 64.3 = 1.7
答え
e = 1.7
点は直線より上にあります。
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