記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：34, 60, 37, 17, 13。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 170、標準偏差 15 の正規分布に従います。155 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 170σ = 15x = 155
P =
3.確率ふつう
袋に赤玉 4 個と青玉 7 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
4 / 7
P =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 5 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 1 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 5p = 0.5k = 1
P =
5.正規分布ふつう
袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。242.5 から 256.25 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 250σ = 5x1 = 242.5x2 = 256.25
P =
6.正規分布むずかしい
袋の重さ は、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの下位 5% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 250 gσ = 5 g5%
x = g
7.信頼区間ふつう
13 個からなる標本の平均は 115.5、標準偏差は s = 10 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 13x̄ = 115.5s = 1090%t(12) = 1.782
下限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 39 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 39E = 299%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：15 人の学生、平均点 99、標準偏差 4.5。グループ 2：6 人の学生、平均点 87.4、標準偏差 11.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 15x̄₁ = 99s₁ = 4.5n₂ = 6x̄₂ = 87.4s₂ = 11.5
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 15 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 15E = 295%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 6
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 23 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 6ŷ = 23
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 18.7
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 161/5 = 32.2
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 1.8² + 27.8² + 4.8² + (−15.2)² + (−19.2)² = 1399
標準偏差
s = √(1399/4) = 18.7
答え
s = 18.7
2.記述統計
答え: P = 0.1587
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1
標準正規分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587
答え
P = 0.1587
3.確率
答え: P = 0.1091
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0.1091
答え
P = 0.1091
4.確率
答え: P = 0.1563
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 1) = 5·0.51·0.54 = 5·0.5·0.0625 = 0.1563
答え
P = 0.1563
5.正規分布
答え: P = 0.8275
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (242.5 − 250)/5 = −1.5
z₂ = (256.25 − 250)/5 = 1.25
間の面積
P = Φ(1.25) − Φ(−1.5) = 0.8944 − 0.06681 = 0.8275
答え
P = 0.8275
6.正規分布
答え: x = 241.8 g
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.05
表からの z
z ≈ −1.64
元の単位に戻す
x = 250 − 1.64·5 = 241.8 g
答え
x = 241.8 g
7.信頼区間
答え: 下限 = 110.6
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 12, t = 1.782
誤差の幅
E = 1.782·10/√13 = 4.942
区間
115.5 ± 4.942 → [110.6, 120.4]
答え
下限 = 110.6
8.信頼区間
答え: n = 2524
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·39/2)² = 2523
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 2524
答え
n = 2524
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 3.406
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散
sp² = (14·4.5² + 5·11.5²)/19 = 49.72
sp = 7.052
標準誤差
SE = 7.052·√(1/15 + 1/6) = 3.406
検定統計量
t = (99 − 87.4)/3.406 = 3.406
答え
t = 3.406
df = 19 のとき、両側 5% の臨界値は 2.093 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 217
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (1.96·15/2)² = 216.1
切り上げる
n = 217
答え
n = 217
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9809
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 153/6 = 25.5
ȳ = 866/6 = 144.3
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 960
Syy = Σ(y − ȳ)² = 5965
決定係数
r² = 960²/(157.5·5965) = 0.9809
答え
r² = 0.9809
y の変動の約 98.09% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: x = 1.303
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 109/6 = 18.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38.5
回帰直線
b = −38.5/17.5 = −2.2
a = 18.17 − (−2.2)·3.5 = 25.87
ŷ = 25.87 − 2.2·x
x について解く
x = (23 − 25.87)/(−2.2) = 1.303
答え
x = 1.303
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