記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：16, 51, 42, 14, 21, 55, 34。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 100、標準偏差 20 の正規分布に従います。120 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 100σ = 20x = 120
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.2, 0.25, 0.35
Var(X) =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €5 です。確率 0.3 で €20、確率 0.01 で €50 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €5€20: p = 0.3€50: p = 0.01
E(G) = €
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.4778 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.4778
z =
6.正規分布むずかしい
IQ スコア は、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。色つきの上位 90% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 100 点σ = 15 点90%
x = 点
7.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：40 台、平均 78.5 h、既知の標準偏差 13 h。機種 2：50 台、平均 69.5 h、既知の標準偏差 8 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 40x̄₁ = 78.5 hσ₁ = 13 hn₂ = 50x̄₂ = 69.5 hσ₂ = 8 h99%
下限 = h
8.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：15 区画、平均収量 33 kg、標準偏差 5 kg。区画群 2：7 区画、平均 26.5 kg、標準偏差 4 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 15x̄₁ = 33s₁ = 5n₂ = 7x̄₂ = 26.5s₂ = 499%t(20) = 2.845
E = kg
9.仮説検定と信頼区間ふつう
6 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 6.47、差の標準偏差は 4.8 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
n = 6d̄ = 6.47sd = 4.8
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
49 回の測定の標本平均は 48.9 です。母標準偏差は 15 です。平均の 90% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 48.9σ = 15n = 4990%
U =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6Σx = 21Σy = 83Σx² = 91Σy² = 1299Σxy = 241
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (1.5, 23) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(1.5, 23)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 16.75
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 233/7 = 33.29
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−17.29)² + 17.71² + 8.714² + (−19.29)² + (−12.29)² + 21.71² + 0.7143² = 1683
標準偏差
s = √(1683/6) = 16.75
答え
s = 16.75
2.記述統計
答え: z = 1
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (120 − 100)/20 = 1
答え
z = 1
3.確率
答え: Var(X) = 1.288
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.2 + 1·0.2 + 2·0.25 + 3·0.35 = 1.75
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.2 + 1·0.2 + 4·0.25 + 9·0.35 = 4.35
分散
Var(X) = 4.35 − 1.75² = 1.288
答え
Var(X) = 1.288
4.確率
答え: E(G) = 1.5 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 15 (p = 0.3), 45 (p = 0.01), −5 (p = 0.69)
期待値
E(G) = 15·0.3 + 45·0.01 − 5·0.69 = 1.5 €
答え
E(G) = 1.5 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
5.正規分布
答え: z = 0.64
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = (1 + 0.4778)/2 = 0.7389
z 表を逆に読む
表の中で 0.7389 を見つけ、z を読み取ります。
z = 0.64
答え
z = 0.64
6.正規分布
答え: x = 80.8 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.1
表からの z
z ≈ −1.28
元の単位に戻す
x = 100 − 1.28·15 = 80.8 点
答え
x = 80.8 点
7.信頼区間
答え: 下限 = 2.956 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 78.5 − 69.5 = 9
標準誤差
SE = √(13²/40 + 8²/50) = 2.346
誤差の幅
E = 2.576·2.346 = 6.044
区間
9 ± 6.044 → [2.956, 15.04]
答え
下限 = 2.956 h
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
8.信頼区間
答え: E = 6.15 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差
sp² = (14·5² + 6·4²)/20 = 22.3
sp = 4.722
誤差の幅
E = 2.845·4.722·√(1/15 + 1/7) = 6.15
答え
E = 6.15 kg
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 3.302
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
差の平均の標準誤差
SE = 4.8/√6 = 1.96
検定統計量
t = 6.47/1.96 = 3.302
答え
t = 3.302
df = 5 のとき、両側 5% の臨界値は 2.571 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: U = 52.42
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 1.645·15/√49 = 3.525
区間の端
U = 48.9 + 3.525 = 52.42
答え
U = 52.42
11.線形回帰と相関
答え: r = −0.9635
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 241 − 21·83/6 = −49.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 1299 − 83²/6 = 150.8
相関係数
r = −49.5/√(17.5·150.8) = −0.9635
答え
r = −0.9635
12.線形回帰と相関
答え: e = −5
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 122/5 = 24.4
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
回帰直線
b = −24/10 = −2.4
a = 24.4 − (−2.4)·3 = 31.6
ŷ = 31.6 − 2.4·x
予測値
ŷ = 31.6 + (−2.4)·1.5 = 28
残差
e = 23 − 28 = −5
答え
e = −5
点は直線より下にあります。
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