記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：21, 57, 27, 46, 21, 49, 55。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。63.6 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70σ = 8x = 63.6
P =
3.確率ふつう
14 人のグループから 4 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 14k = 4
N =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 10 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.6 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 10p = 0.6k = 2
P =
5.正規分布ふつう
電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。440 から 580 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 500σ = 40x1 = 440x2 = 580
P =
6.正規分布むずかしい
IQ スコア は、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。色つきの上位 10% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 100 点σ = 15 点10%
x = 点
7.信頼区間ふつう
11 個からなる標本の平均は 38、標準偏差は s = 19.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 11x̄ = 38s = 19.599%t(10) = 3.169
E =
8.信頼区間むずかしい
予備調査によると、製品の約 0.15 が不良品です。 割合の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.01 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p ≈ 0.15E = 0.0199%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
13 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 9.98、差の標準偏差は 10 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
n = 13d̄ = 9.98sd = 10
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 100 対 H₁: μ < 100 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 15 であることがわかっています。実際の平均は 93.4 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 100μ = 93.4σ = 15n = 25α = 0.01
β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6Σx = 42Σy = 79Σx² = 364Σy² = 1227Σxy = 664
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (5, 12) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(5, 12)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 15.91
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 276/7 = 39.43
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−18.43)² + 17.57² + (−12.43)² + 6.571² + (−18.43)² + 9.571² + 15.57² = 1520
標準偏差
s = √(1520/6) = 15.91
答え
s = 15.91
2.記述統計
答え: P = 0.7881
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −0.8
標準正規分布表
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881
答え
P = 0.7881
3.確率
答え: N = 1001
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001
答え
N = 1001
4.確率
答え: P = 0.01062
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 2) = 45·0.62·0.48 = 45·0.36·0.0006554 = 0.01062
答え
P = 0.01062
5.正規分布
答え: P = 0.9104
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (440 − 500)/40 = −1.5
z₂ = (580 − 500)/40 = 2
間の面積
P = Φ(2) − Φ(−1.5) = 0.9772 − 0.06681 = 0.9104
答え
P = 0.9104
6.正規分布
答え: x = 119.2 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.9
表からの z
z ≈ 1.28
元の単位に戻す
x = 100 + 1.28·15 = 119.2 点
答え
x = 119.2 点
7.信頼区間
答え: E = 18.63
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 10, t = 3.169
誤差の幅
E = 3.169·19.5/√11 = 18.63
答え
E = 18.63
8.信頼区間
答え: n = 8461
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 2.576²·0.15·0.85/0.01² = 8461
切り上げる
n = 8461
答え
n = 8461
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 3.598
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
差の平均の標準誤差
SE = 10/√13 = 2.774
検定統計量
t = 9.98/2.774 = 3.598
答え
t = 3.598
df = 12 のとき、両側 5% の臨界値は 2.179 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: β = 55.01 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 100 − 2.326·3 = 93.02
真の平均のもとでの z
z = (93.02 − 93.4)/3 = −0.126
第 2 種の誤り
検出力 = P(Z < −0.126) = 44.99%
β = 100% − 44.99% = 55.01%
答え
β = 55.01%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9706
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 664 − 42·79/6 = 111
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1227 − 79²/6 = 186.8
相関係数
r = 111/√(70·186.8) = 0.9706
答え
r = 0.9706
12.線形回帰と相関
答え: e = 3.25
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 52/5 = 10.4
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
回帰直線
b = 66/40 = 1.65
a = 10.4 − 1.65·6 = 0.5
ŷ = 0.5 + 1.65·x
予測値
ŷ = 0.5 + 1.65·5 = 8.75
残差
e = 12 − 8.75 = 3.25
答え
e = 3.25
点は直線より上にあります。
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