記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：41, 40, 42, 12, 14。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 100 の正規分布に従います。560 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500σ = 100x = 560
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.1, 0.2, 0.35
σ =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 5 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 1 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 5p = 0.5k = 1
P =
5.正規分布ふつう
IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。100.75 から 112.75 点 の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 100σ = 15x1 = 100.75x2 = 112.75
P =
6.正規分布むずかしい
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 75% がそれより下にある値 x（第 75 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 178σ = 7P = 75%
x = cm
7.信頼区間ふつう
8 個からなる標本の平均は 51、標準偏差は s = 10.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 8x̄ = 51s = 10.599%t(7) = 3.499
上限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 31 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 31E = 199%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
16 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 9.9、差の標準偏差は 10.7 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
n = 16d̄ = 9.9sd = 10.7
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
16 回の測定の標本平均は 201 です。母標準偏差は 20 です。平均の 90% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 201σ = 20n = 1690%
U =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 30Σy = 180Σx² = 220Σy² = 6762Σxy = 1178
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (23, 61) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(23, 61)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 15.37
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 149/5 = 29.8
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 11.2² + 10.2² + 12.2² + (−17.8)² + (−15.8)² = 944.8
標準偏差
s = √(944.8/4) = 15.37
答え
s = 15.37
2.記述統計
答え: z = 0.6
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (560 − 500)/100 = 0.6
答え
z = 0.6
3.確率
答え: σ = 1.284
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 1·0.35 + 2·0.1 + 3·0.2 + 4·0.35 = 2.55
2 乗の平均
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.1 + 9·0.2 + 16·0.35 = 8.15
分散
Var(X) = 8.15 − 2.55² = 1.647
σ = √1.647 = 1.284
答え
σ = 1.284
4.確率
答え: P = 0.1563
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 1) = 5·0.51·0.54 = 5·0.5·0.0625 = 0.1563
答え
P = 0.1563
5.正規分布
答え: P = 0.2824
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (100.75 − 100)/15 = 0.05
z₂ = (112.75 − 100)/15 = 0.85
間の面積
P = Φ(0.85) − Φ(0.05) = 0.8023 − 0.5199 = 0.2824
答え
P = 0.2824
6.正規分布
答え: x = 182.7 cm
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
x に戻す
x = 178 + 0.6745·7 = 182.72 cm
答え
x = 182.72 cm
7.信頼区間
答え: 上限 = 63.99
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 7, t = 3.499
誤差の幅
E = 3.499·10.5/√8 = 12.99
区間
51 ± 12.99 → [38.01, 63.99]
答え
上限 = 63.99
8.信頼区間
答え: n = 6377
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·31/1)² = 6377
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 6377
答え
n = 6377
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 3.701
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
差の平均の標準誤差
SE = 10.7/√16 = 2.675
検定統計量
t = 9.9/2.675 = 3.701
答え
t = 3.701
df = 15 のとき、両側 5% の臨界値は 2.131 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: U = 209.2
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 1.645·20/√16 = 8.225
区間の端
U = 201 + 8.225 = 209.2
答え
U = 209.2
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9227
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 1178 − 30·180/5 = 98
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 6762 − 180²/5 = 282
相関係数
r = 98/√(40·282) = 0.9227
答え
r = 0.9227
12.線形回帰と相関
答え: e = −4.295
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 364/6 = 60.67
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162
回帰直線
b = 162/70 = 2.314
a = 60.67 − 2.314·21 = 12.07
ŷ = 12.07 + 2.314·x
予測値
ŷ = 12.07 + 2.314·23 = 65.3
残差
e = 61 − 65.3 = −4.295
答え
e = −4.295
点は直線より下にあります。
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