統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：30, 49, 40, 17, 27。

n = 5

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 170、標準偏差 12 の正規分布に従います。146 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 170σ = 12x = 146

z =

3.確率ふつう

10 人のグループから 3 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。

n = 10k = 3

N =

4.確率むずかしい

部品を 9 個試験し、各部品は独立に確率 0.5 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 9p = 0.5

P =

5.正規分布ふつう

セメント袋の質量は互いに独立で、平均 25 kg、標準偏差 0.5 kg の正規分布に従います。そのうち 5 個の合計質量が 124.4 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 5> 124.4 kg

P =

6.正規分布むずかしい

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。全体の 10% がそれより下にある値 x（第 10 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

7.信頼区間ふつう

11 個からなる標本の平均は 64.5、標準偏差は s = 12 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 11x̄ = 64.5s = 1299%t(10) = 3.169

E =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 16 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 16E = 2.595%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 100 人の標本の平均点は 77.4、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 77.4s = 10n = 100

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 4 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 4E = 395%

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (9, 27) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(9, 27)

e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 12.3

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 163/5 = 32.6

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−2.6)² + 16.4² + 7.4² + (−15.6)² + (−5.6)² = 605.2

標準偏差

s = √(605.2/4) = 12.3

答え

s = 12.3

2.記述統計

答え: z = −2

標準化する

z = (146 − 170)/12 = −2

答え

z = −2

3.確率

答え: N = 120

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

組合せ

C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

答え

N = 120

4.確率

答え: P = 0.01953

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.5⁹ = 0.001953

P(X = 1) = 9·0.5·0.5⁸ = 0.01758

足し合わせる

P = 0.001953 + 0.01758 = 0.01953

答え

P = 0.01953

5.正規分布

答え: P = 0.7054

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 125 kg, σ_T = 0.5·√5 = 1.118 kg

標準化する

z = (124.4 − 125)/1.118 = −0.54

確率

P = 1 − Φ(−0.54) = 0.7054

答え

P = 0.7054

6.正規分布

答え: x = 243.6 g

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

x に戻す

x = 250 + −1.282·5 = 243.59 g

答え

x = 243.59 g

7.信頼区間

答え: E = 11.47

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 10, t = 3.169

誤差の幅

E = 3.169·12/√11 = 11.47

答え

E = 11.47

8.信頼区間

答え: n = 158

n について解く

n = (1.96·16/2.5)² = 157.4

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 158

答え

n = 158

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

検定統計量

t = (77.4 − 75)/1 = 2.4

答え

t = 2.4

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 7

n について解く

n = (1.96·4/3)² = 6.83

切り上げる

n = 7

答え

n = 7

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9961

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 244/5 = 48.8

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 362.8

相関係数

r = 60/√(10·362.8) = 0.9961

答え

r = 0.9961

12.線形回帰と相関

答え: e = 3.45

平均

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 81/5 = 16.2

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

回帰直線

b = 98/40 = 2.45

a = 16.2 − 2.45·6 = 1.5

ŷ = 1.5 + 2.45·x

予測値

ŷ = 1.5 + 2.45·9 = 23.55

残差

e = 27 − 23.55 = 3.45

答え

e = 3.45

点は直線より上にあります。

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