記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：17, 45, 51, 41, 35, 22, 42。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 100、標準偏差 12 の正規分布に従います。76 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 100σ = 12x = 76
z =
3.確率ふつう
袋に赤玉 4 個と青玉 5 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
4 / 5
P =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €10 です。確率 0.15 で €30、確率 0.05 で €500 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €10€30: p = 0.15€500: p = 0.05
E(G) = €
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.8770 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.8770
z =
6.正規分布むずかしい
IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。全体の 75% がそれより下にある値 x（第 75 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 100σ = 15P = 75%
x = 点
7.信頼区間ふつう
13 個からなる標本の平均は 55、標準偏差は s = 4 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 13x̄ = 55s = 490%t(12) = 1.782
E =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 11 本の軸の直径の標本標準偏差は 10.7 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 10 のとき、χ² 分布の 2.5% は 3.247 より下に、2.5% は 20.483 より上にあります。
n = 11s = 10.7 µmχ² = 3.247, 20.483
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 100 人の標本の平均点は 198.9、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 198.9s = 8n = 100
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 500 対 H₁: μ < 500 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 7.5 であることがわかっています。実際の平均は 495.8 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 500μ = 495.8σ = 7.5n = 25α = 0.05
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 20Σy = 211Σx² = 90Σy² = 8987Σxy = 865
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 3 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 5x = 3
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 12.42
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 253/7 = 36.14
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−19.14)² + 8.857² + 14.86² + 4.857² + (−1.143)² + (−14.14)² + 5.857² = 924.9
標準偏差
s = √(924.9/6) = 12.42
答え
s = 12.42
2.記述統計
答え: z = −2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (76 − 100)/12 = −2
答え
z = −2
3.確率
答え: P = 0.1667
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0.1667
答え
P = 0.1667
4.確率
答え: E(G) = 19.5 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 20 (p = 0.15), 490 (p = 0.05), −10 (p = 0.8)
期待値
E(G) = 20·0.15 + 490·0.05 − 10·0.8 = 19.5 €
答え
E(G) = 19.5 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
5.正規分布
答え: z = −1.16
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.8770 = 0.1230
z 表を逆に読む
表の中で 0.1230 を見つけ、z を読み取ります。
z = −1.16
答え
z = −1.16
6.正規分布
答え: x = 110.1 点
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
x に戻す
x = 100 + 0.6745·15 = 110.12 点
答え
x = 110.12 点
7.信頼区間
答え: E = 1.977
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 12, t = 1.782
誤差の幅
E = 1.782·4/√13 = 1.977
答え
E = 1.977
8.信頼区間
答え: σ = 18.78 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 10·10.7² = 1145
σ² の限界
1145/20.483 = 55.9
1145/3.247 = 352.6
σ の限界
σ = √352.6 = 18.78 µm
答え
σ = 18.78 µm
σ の 95% 区間：[7.476, 18.78] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.375
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 8/√100 = 8/10 = 0.8
検定統計量
t = (198.9 − 200)/0.8 = −1.375
答え
t = −1.375
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 87.6 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 7.5/√25 = 1.5
x̄c = 500 − 1.645·1.5 = 497.5
真の平均のもとでの z
z = (497.5 − 495.8)/1.5 = 1.155
電力
検出力 = P(Z < 1.155) = 87.6%
1 − β = 87.6%
答え
1 − β = 87.6%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.7298
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 865 − 20·211/5 = 21
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 8987 − 211²/5 = 82.8
相関係数
r = 21/√(10·82.8) = 0.7298
答え
r = 0.7298
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 7.4
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 64/5 = 12.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72
回帰直線
b = 72/40 = 1.8
a = 12.8 − 1.8·6 = 2
ŷ = 2 + 1.8·x
予測
ŷ = 2 + 1.8·3 = 7.4
答え
ŷ = 7.4
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1