統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
152025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい：58, 20, 48, 15, 25, 52, 11。

n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 170、標準偏差 12 の正規分布に従います。164 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 12x = 164
P =
3.確率ふつう
xp(x)10.120.3530.240.35μ = 2.8

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.35, 0.2, 0.35
Var(X) =
4.確率むずかしい
xp(x)00.0520.2540.3560.35μ

X は示された分布をもち、Y = −2X + 5 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.05, 0.25, 0.35, 0.35Y = −2X + 5
σY =
5.正規分布ふつう
100127.75P = ?

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。100 から 127.75 点 の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 100σ = 15x1 = 100x2 = 127.75
P =
6.正規分布むずかしい
0.04 mm0D − d?

穴の直径 D は平均 25.04 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.信頼区間ふつう
n = 7, sd​ = 7.90L = ?Ud̄ = 7.2E90%

7 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 7.2、標準偏差は 7.9 です。 差の平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 7d̄ = 7.2sd = 7.990%t(6) = 1.943
下限 = mmHg
8.信頼区間むずかしい
σ = 38, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 499%

母標準偏差は 38 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 4 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 38E = 499%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
t −2.13102.131

学生 16 人の標本の平均点は 71.5、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 71.5s = 10n = 16
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.590%

平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 15 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 15E = 0.590%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
xy129225324420522619xy246202530

表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy1461177420912310426112xy1520256080100ŷ = 95

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 95 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 5ŷ = 95
x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 19.37

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 229/7 = 32.71

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 25.29² + (−12.71)² + 15.29² + (−17.71)² + (−7.714)² + 19.29² + (−21.71)² = 2251

標準偏差

s = √(2251/6) = 19.37

答え

s = 19.37
2.記述統計

答え: P = 0.3085

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −0.5

標準正規分布表

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085

答え

P = 0.3085
3.確率

答え: Var(X) = 1.06

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 1·0.1 + 2·0.35 + 3·0.2 + 4·0.35 = 2.8

2 乗の平均

E(X²) = 1·0.1 + 4·0.35 + 9·0.2 + 16·0.35 = 8.9

分散

Var(X) = 8.9 − 2.8² = 1.06

答え

Var(X) = 1.06
4.確率

答え: σY = 3.578

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 4, Var(X) = 3.2, σX = 1.789

一次変換

σY = |−2|·1.789 = 3.578

答え

σY = 3.578

平均は変化します：E(Y) = −2·4 + 5 = −3。

5.正規分布

答え: P = 0.4678

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (100 − 100)/15 = 0
z₂ = (127.75 − 100)/15 = 1.85

間の面積

P = Φ(1.85) − Φ(0) = 0.9678 − 0.5 = 0.4678

答え

P = 0.4678
6.正規分布

答え: P = 0.9706

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02121 mm

標準化する

z = (0 − 0.04)/0.02121 = −1.89

確率

P = 1 − Φ(−1.89) = 0.9706

答え

P = 0.9706
7.信頼区間

答え: 下限 = 1.398 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 6, t = 1.943

誤差の幅

E = 1.943·7.9/√7 = 5.802

区間

7.2 ± 5.802 → [1.398, 13]

答え

下限 = 1.398 mmHg
8.信頼区間

答え: n = 599

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·38/4)² = 598.9

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 599

答え

n = 599
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5

検定統計量

t = (71.5 − 75)/2.5 = −1.4

答え

t = −1.4
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 2436

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

n について解く

n = (1.645·15/0.5)² = 2435

切り上げる

n = 2436

答え

n = 2436
11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.8484

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 139/6 = 23.17

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 66.83

決定係数

r² = −31.5²/(17.5·66.83) = 0.8484

答え

r² = 0.8484

y の変動の約 84.84% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: x = 21.5

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 442/5 = 88.4

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 396

回帰直線

b = 396/90 = 4.4
a = 88.4 − 4.4·20 = 0.4
ŷ = 0.4 + 4.4·x

x について解く

x = (95 − 0.4)/4.4 = 21.5

答え

x = 21.5

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