記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：14, 41, 40, 33, 34, 26。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 60、標準偏差 12 の正規分布に従います。54 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 60σ = 12x = 54
z =
3.確率ふつう
13 人のグループから 3 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 13k = 3
N =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €5 です。確率 0.15 で €15、確率 0.01 で €100 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €5€15: p = 0.15€100: p = 0.01
E(G) = €
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.4177 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.4177
z =
6.正規分布むずかしい
試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。全体の 99% がそれより下にある値 x（第 99 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 65σ = 10P = 99%
x = 点
7.信頼区間ふつう
15 個からなる標本の平均は 33、標準偏差は s = 7.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 15x̄ = 33s = 7.595%t(14) = 2.145
上限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 13 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 13E = 399%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 16 人の標本の平均点は 117.8、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120x̄ = 117.8s = 10n = 16
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 200 対 H₁: μ > 200 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 5 であることがわかっています。実際の平均は 201.65 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 200μ = 201.65σ = 5n = 100α = 0.01
β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 6
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (18, 32) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(18, 32)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 10.07
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 188/6 = 31.33
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−17.33)² + 9.667² + 8.667² + 1.667² + 2.667² + (−5.333)² = 507.3
標準偏差
s = √(507.3/5) = 10.07
答え
s = 10.07
2.記述統計
答え: z = −0.5
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (54 − 60)/12 = −0.5
答え
z = −0.5
3.確率
答え: N = 286
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286
答え
N = 286
4.確率
答え: E(G) = −1.75 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 10 (p = 0.15), 95 (p = 0.01), −5 (p = 0.84)
期待値
E(G) = 10·0.15 + 95·0.01 − 5·0.84 = −1.75 €
答え
E(G) = −1.75 €
負の値は、平均して損をすることを意味します。
5.正規分布
答え: z = 0.55
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = (1 + 0.4177)/2 = 0.7088
z 表を逆に読む
表の中で 0.7088 を見つけ、z を読み取ります。
z = 0.55
答え
z = 0.55
6.正規分布
答え: x = 88.26 点
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
x に戻す
x = 65 + 2.326·10 = 88.26 点
答え
x = 88.26 点
7.信頼区間
答え: 上限 = 37.15
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 14, t = 2.145
誤差の幅
E = 2.145·7.5/√15 = 4.154
区間
33 ± 4.154 → [28.85, 37.15]
答え
上限 = 37.15
8.信頼区間
答え: n = 125
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·13/3)² = 124.6
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 125
答え
n = 125
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −0.88
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5
検定統計量
t = (117.8 − 120)/2.5 = −0.88
答え
t = −0.88
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: β = 16.5 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 5/√100 = 0.5
x̄c = 200 + 2.326·0.5 = 201.2
真の平均のもとでの z
z = (201.2 − 201.65)/0.5 = −0.974
第 2 種の誤り
検出力 = P(Z > −0.974) = 83.5%
β = 100% − 83.5% = 16.5%
答え
β = 16.5%
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9798
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 107/6 = 17.83
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 115
Syy = Σ(y − ȳ)² = 192.8
決定係数
r² = 115²/(70·192.8) = 0.9798
答え
r² = 0.9798
y の変動の約 97.98% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: e = −2.552
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 244/6 = 40.67
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214
回帰直線
b = 214/70 = 3.057
a = 40.67 − 3.057·20 = −20.48
ŷ = −20.48 + 3.057·x
予測値
ŷ = −20.48 + 3.057·18 = 34.55
残差
e = 32 − 34.55 = −2.552
答え
e = −2.552
点は直線より下にあります。
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