記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：57, 58, 51, 47, 28, 43。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 20 の正規分布に従います。30 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70σ = 20x = 30
P =
3.確率ふつう
袋に赤玉 6 個と青玉 9 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
6 / 9
P =
4.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = 0.5X + 10 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.35, 0.1, 0.3Y = 0.5X + 10
σY =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.0749 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.0749
z =
6.正規分布むずかしい
袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。全体の 97.5% がそれより下にある値 x（第 97.5 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 250σ = 5P = 97.5%
x = g
7.信頼区間ふつう
11 個からなる標本の平均は 113、標準偏差は s = 16 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 11x̄ = 113s = 1690%t(10) = 1.812
E =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 11 本の軸の直径の標本標準偏差は 7.1 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 10 のとき、χ² 分布の 2.5% は 3.247 より下に、2.5% は 20.483 より上にあります。
n = 11s = 7.1 µmχ² = 3.247, 20.483
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
ある母集団の平均は 250 であると主張されています。母標準偏差は 15 であることがわかっています。36 個の観測値からなる無作為標本の平均は 253.15 です。H₀: μ = 250 対 H₁: μ > 250 を検定します。p 値 p を求めなさい。
μ₀ = 250σ = 15n = 36x̄ = 253.15H₁: μ > μ₀
p =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
49 回の測定の標本平均は 73.9 です。母標準偏差は 15 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 73.9σ = 15n = 4999%
U =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (7, 16) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(7, 16)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 11.08
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 284/6 = 47.33
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 9.667² + 10.67² + 3.667² + (−0.3333)² + (−19.33)² + (−4.333)² = 613.3
標準偏差
s = √(613.3/5) = 11.08
答え
s = 11.08
2.記述統計
答え: P = 0.02275
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −2
標準正規分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275
答え
P = 0.02275
3.確率
答え: P = 0.1429
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0.1429
答え
P = 0.1429
4.確率
答え: σY = 0.5804
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 2.45, Var(X) = 1.347, σX = 1.161
一次変換
σY = |0.5|·1.161 = 0.5804
答え
σY = 0.5804
平均は変化します：E(Y) = 0.5·2.45 + 10 = 11.22。
5.正規分布
答え: z = 1.44
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.0749 = 0.9251
z 表を逆に読む
表の中で 0.9251 を見つけ、z を読み取ります。
z = 1.44
答え
z = 1.44
6.正規分布
答え: x = 259.8 g
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
x に戻す
x = 250 + 1.96·5 = 259.8 g
答え
x = 259.8 g
7.信頼区間
答え: E = 8.741
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 10, t = 1.812
誤差の幅
E = 1.812·16/√11 = 8.741
答え
E = 8.741
8.信頼区間
答え: σ = 12.46 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 10·7.1² = 504.1
σ² の限界
504.1/20.483 = 24.61
504.1/3.247 = 155.3
σ の限界
σ = √155.3 = 12.46 µm
答え
σ = 12.46 µm
σ の 95% 区間：[4.961, 12.46] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.1038
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
検定統計量
SE = σ/√n = 15/√36 = 2.5
z = (253.15 − 250)/2.5 = 1.26
裾の面積
Φ(1.26) = 0.8962
1 − Φ(1.26) = 0.1038
p 値
p = 0.1038
答え
p = 0.1038
p > 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: U = 79.42
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 2.576·15/√49 = 5.52
区間の端
U = 73.9 + 5.52 = 79.42
答え
U = 79.42
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.8637
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 295/5 = 59
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 49
Syy = Σ(y − ȳ)² = 278
決定係数
r² = 49²/(10·278) = 0.8637
答え
r² = 0.8637
y の変動の約 86.37% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: e = 3.7
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 53/5 = 10.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68
回帰直線
b = 68/40 = 1.7
a = 10.6 − 1.7·6 = 0.4
ŷ = 0.4 + 1.7·x
予測値
ŷ = 0.4 + 1.7·7 = 12.3
残差
e = 16 − 12.3 = 3.7
答え
e = 3.7
点は直線より上にあります。
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