統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：57, 60, 10, 35, 39。

n = 5

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 500、標準偏差 75 の正規分布に従います。530 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 500σ = 75x = 530

z =

3.確率ふつう

13 人のグループから 3 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。

n = 13k = 3

N =

4.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 7 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.4 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 7p = 0.4k = 2

P =

5.正規分布ふつう

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。62.5 から 67 点の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 65σ = 10x₁ = 62.5x₂ = 67

P =

6.正規分布むずかしい

ある集団の男性の身長 X と女性の身長 Y は独立な正規変数です：X は平均 180 cm、標準偏差 10 cm、Y は平均 170 cm、標準偏差 12 cm です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.信頼区間ふつう

σ が既知のもとで 50 個の観測値に基づく平均の 95% 信頼区間の誤差の幅は 4.4 です。同じデータから求めた 90% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？

95%n₁ = 50E₁ = 4.490%

E₂ =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 27 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 27E = 299%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 36 人の標本の平均点は 48.83、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 50x̄ = 48.83s = 5n = 36

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

49 回の測定の標本平均は 197.7 です。母標準偏差は 10 です。平均の 90% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 197.7σ = 10n = 4990%

U =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6

r² =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 89 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 5ŷ = 89

x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 20.09

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 201/5 = 40.2

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 16.8² + 19.8² + (−30.2)² + (−5.2)² + (−1.2)² = 1615

標準偏差

s = √(1615/4) = 20.09

答え

s = 20.09

2.記述統計

答え: z = 0.4

標準化する

z = (530 − 500)/75 = 0.4

答え

z = 0.4

3.確率

答え: N = 286

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

組合せ

C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286

答え

N = 286

4.確率

答え: P = 0.2613

二項分布の公式

P(X = 2) = 21·0.4²·0.6⁵ = 21·0.16·0.07776 = 0.2613

答え

P = 0.2613

5.正規分布

答え: P = 0.178

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (62.5 − 65)/10 = −0.25

z₂ = (67 − 65)/10 = 0.2

間の面積

P = Φ(0.2) − Φ(−0.25) = 0.5793 − 0.4013 = 0.178

答え

P = 0.178

6.正規分布

答え: P = 0.7389

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

標準化する

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

確率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答え

P = 0.7389

7.信頼区間

答え: E₂ = 3.693

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

誤差の幅の比

E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(50/50) = 0.8393

新しい誤差の幅

E₂ = 4.4·0.8393 = 3.693

答え

E₂ = 3.693

8.信頼区間

答え: n = 1210

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·27/2)² = 1209

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 1210

答え

n = 1210

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.404

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 5/√36 = 5/6 = 0.8333

検定統計量

t = (48.83 − 50)/0.8333 = −1.404

答え

t = −1.404

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: U = 200

誤差の幅

E = 1.645·10/√49 = 2.35

区間の端

U = 197.7 + 2.35 = 200

答え

U = 200

11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9301

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 78/6 = 13

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 130

決定係数

r² = −46²/(17.5·130) = 0.9301

答え

r² = 0.9301

y の変動の約 93.01% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: x = 6.059

平均

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 477/5 = 95.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272

回帰直線

b = 272/40 = 6.8

a = 95.4 − 6.8·7 = 47.8

ŷ = 47.8 + 6.8·x

x について解く

x = (89 − 47.8)/6.8 = 6.059

答え

x = 6.059

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