記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：19, 53, 15, 33, 49, 57。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 100、標準偏差 5 の正規分布に従います。106.3 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 100σ = 5x = 106.3
z =
3.確率ふつう
9 人のグループから 2 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 9k = 2
N =
4.確率むずかしい
部品を 11 個試験し、各部品は独立に確率 0.25 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 11p = 0.25
P =
5.正規分布ふつう
箱 の質量は互いに独立で、平均 12 kg、標準偏差 0.8 kg の正規分布に従います。そのうち 9 個の合計質量が 109.2 kg を下回る確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 9< 109.2 kg
P =
6.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.03 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：40 台、平均 124 h、既知の標準偏差 3 h。機種 2：30 台、平均 125.5 h、既知の標準偏差 11 h。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 40x̄₁ = 124 hσ₁ = 3 hn₂ = 30x̄₂ = 125.5 hσ₂ = 11 h95%
E = h
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 34 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 34E = 299%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 49 人の標本の平均点は 496.5、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 500x̄ = 496.5s = 8n = 49
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
100 回の測定の標本平均は 118.8 です。母標準偏差は 5 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 118.8σ = 5n = 10099%
U =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 95Σy = 568Σx² = 1845Σy² = 66000Σxy = 11028
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 1.5 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 1.5
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 18.01
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 226/6 = 37.67
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−18.67)² + 15.33² + (−22.67)² + (−4.667)² + 11.33² + 19.33² = 1621
標準偏差
s = √(1621/5) = 18.01
答え
s = 18.01
2.記述統計
答え: z = 1.25
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (106.3 − 100)/5 = 1.25
答え
z = 1.25
3.確率
答え: N = 36
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(9, 2) = (9·8)/(2·1) = 36
答え
N = 36
4.確率
答え: P = 0.1971
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.7511 = 0.04224
P(X = 1) = 11·0.25·0.7510 = 0.1549
足し合わせる
P = 0.04224 + 0.1549 = 0.1971
答え
P = 0.1971
5.正規分布
答え: P = 0.6915
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
合計の分布
μT = 108 kg, σT = 0.8·√9 = 2.4 kg
標準化する
z = (109.2 − 108)/2.4 = 0.5
確率
P = Φ(0.5) = 0.6915
答え
P = 0.6915
6.正規分布
答え: P = 0.9515
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01803 mm
標準化する
z = (0 − 0.03)/0.01803 = −1.66
確率
P = 1 − Φ(−1.66) = 0.9515
答え
P = 0.9515
7.信頼区間
答え: E = 4.045 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 124 − 125.5 = −1.5
標準誤差
SE = √(3²/40 + 11²/30) = 2.064
誤差の幅
E = 1.96·2.064 = 4.045
答え
E = 4.045 h
区間は 0 を含むので、データは有意な差を示していません。
8.信頼区間
答え: n = 1918
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·34/2)² = 1918
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 1918
答え
n = 1918
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −3.063
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143
検定統計量
t = (496.5 − 500)/1.143 = −3.063
答え
t = −3.063
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: U = 120.1
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 2.576·5/√100 = 1.288
区間の端
U = 118.8 + 1.288 = 120.1
答え
U = 120.1
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9715
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 11028 − 95·568/5 = 236
Sxx = 1845 − 95²/5 = 40
Syy = 66000 − 568²/5 = 1475
相関係数
r = 236/√(40·1475) = 0.9715
答え
r = 0.9715
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 21.14
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 97/6 = 16.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43.5
回帰直線
b = −43.5/17.5 = −2.486
a = 16.17 − (−2.486)·3.5 = 24.87
ŷ = 24.87 − 2.486·x
予測
ŷ = 24.87 + (−2.486)·1.5 = 21.14
答え
ŷ = 21.14
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