統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
4244464850525456

データの標本標準偏差 s を求めなさい：47, 57, 42, 45, 56, 44, 41。

n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 100、標準偏差 5 の正規分布に従います。95 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 100σ = 5x = 95
P =
3.確率ふつう
P(少なくとも 1 回 6 が出る) = ??1?2P(6) = 各回 1/6

公正なさいころを 2 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 2
P =
4.確率むずかしい
n = 11, p = 0.2: P(X ≤ 1) = ?k01234567891011

部品を 11 個試験し、各部品は独立に確率 0.2 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 11p = 0.2
P =
5.正規分布ふつう
100.75123.25P = ?

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。100.75 から 123.25 点 の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 100σ = 15x1 = 100.75x2 = 123.25
P =
6.正規分布むずかしい
μ = 65x = ?90%

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。全体の 90% がそれより下にある値 x（第 90 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 65σ = 10P = 90%
x = 点
7.信頼区間ふつう
n = 6, sd​ = 7.70LUd̄ = 5.9E = ?99%

6 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 5.9、標準偏差は 7.7 です。 差の平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 6d̄ = 5.9sd = 7.799%t(5) = 4.032
E = mmHg
8.信頼区間むずかしい
μ₁ − μ₂, t(10) = 3.1690LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

2 種類の肥料を試験します。区画群 1：6 区画、平均収量 58 kg、標準偏差 8 kg。区画群 2：6 区画、平均 46.5 kg、標準偏差 9.5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。

n₁ = 6x̄₁ = 58s₁ = 8n₂ = 6x̄₂ = 46.5s₂ = 9.599%t(10) = 3.169
上限 = kg
9.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.3652.365t = ?df = 7

8 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 0.58、差の標準偏差は 1.5 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 8d̄ = 0.58sd = 1.5
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
−1.961.96z = ?

ある臨床試験で、治療 A の患者 80 人中 20 人、治療 B の患者 150 人中 56 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。

x₁ = 20n₁ = 80x₂ = 56n₂ = 150
z =
11.線形回帰と相関ふつう
xy124222324420520617xy24620

表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy18752081227824852696xy20258090x = 21

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (21, 84) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(21, 84)
e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 6.503

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 332/7 = 47.43

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−0.4286)² + 9.571² + (−5.429)² + (−2.429)² + 8.571² + (−3.429)² + (−6.429)² = 253.7

標準偏差

s = √(253.7/6) = 6.503

答え

s = 6.503
2.記述統計

答え: P = 0.8413

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −1

標準正規分布表

Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413

答え

P = 0.8413
3.確率

答え: P = 0.3056

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056

答え

P = 0.3056
4.確率

答え: P = 0.3221

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.811 = 0.0859
P(X = 1) = 11·0.2·0.810 = 0.2362

足し合わせる

P = 0.0859 + 0.2362 = 0.3221

答え

P = 0.3221
5.正規分布

答え: P = 0.4195

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (100.75 − 100)/15 = 0.05
z₂ = (123.25 − 100)/15 = 1.55

間の面積

P = Φ(1.55) − Φ(0.05) = 0.9394 − 0.5199 = 0.4195

答え

P = 0.4195
6.正規分布

答え: x = 77.82 点

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

x に戻す

x = 65 + 1.282·10 = 77.82 点

答え

x = 77.82 点
7.信頼区間

答え: E = 12.67 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 5, t = 4.032

誤差の幅

E = 4.032·7.7/√6 = 12.67

答え

E = 12.67 mmHg
8.信頼区間

答え: 上限 = 27.57 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

プールした標準偏差

sp² = (5·8² + 5·9.5²)/10 = 77.13
sp = 8.782

誤差の幅

E = 3.169·8.782·√(1/6 + 1/6) = 16.07

区間

11.5 ± 16.07 → [−4.568, 27.57]

答え

上限 = 27.57 kg
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.094

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 1.5/√8 = 0.5303

検定統計量

t = 0.58/0.5303 = 1.094

答え

t = 1.094

df = 7 のとき、両側 5% の臨界値は 2.365 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: z = −1.894

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

標本比率

p̂₁ = 20/80 = 0.25
p̂₂ = 56/150 = 0.3733
p̂ = 76/230 = 0.3304

H₀ のもとでの標準誤差

SE = √(0.3304·0.6696·(1/80 + 1/150)) = 0.06512

検定統計量

z = (0.25 − 0.3733)/0.06512 = −1.894

答え

z = −1.894

|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.7854

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 127/6 = 21.17

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 36.83

決定係数

r² = −22.5²/(17.5·36.83) = 0.7854

答え

r² = 0.7854

y の変動の約 78.54% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: e = 3.3

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 415/5 = 83

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

回帰直線

b = 92/40 = 2.3
a = 83 − 2.3·22 = 32.4
ŷ = 32.4 + 2.3·x

予測値

ŷ = 32.4 + 2.3·21 = 80.7

残差

e = 84 − 80.7 = 3.3

答え

e = 3.3

点は直線より上にあります。

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