記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：57, 13, 39, 56, 52。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 60、標準偏差 5 の正規分布に従います。52.5 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 60σ = 5x = 52.5
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.25, 0.2, 0.3
σ =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 7 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 4 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 7p = 0.5k = 4
P =
5.正規分布ふつう
X は平均 12 min、標準偏差 1.5 min の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 20 min、標準偏差 2 min の正規分布に従います。X + Y が 28.3 min を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 28.3 min
P =
6.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.04 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.信頼区間ふつう
σ が既知のもとで 36 個の観測値に基づく平均の 95% 信頼区間の誤差の幅は 4.9 です。 同じデータから求めた 99% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？
95%n₁ = 36E₁ = 4.999%
E₂ =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 16 本の軸の直径の標本標準偏差は 6.3 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 15 のとき、χ² 分布の 2.5% は 6.262 より下に、2.5% は 27.488 より上にあります。
n = 16s = 6.3 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 81 人の標本の平均点は 200.6、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 200.6s = 8n = 81
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
49 回の測定の標本平均は 117.6 です。母標準偏差は 15 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 117.6σ = 15n = 4999%
U =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (2.5, 19) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(2.5, 19)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 18.45
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 217/5 = 43.4
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 13.6² + (−30.4)² + (−4.4)² + 12.6² + 8.6² = 1361
標準偏差
s = √(1361/4) = 18.45
答え
s = 18.45
2.記述統計
答え: z = −1.5
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (52.5 − 60)/5 = −1.5
答え
z = −1.5
3.確率
答え: σ = 1.161
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 1·0.25 + 2·0.25 + 3·0.2 + 4·0.3 = 2.55
2 乗の平均
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.25 + 9·0.2 + 16·0.3 = 7.85
分散
Var(X) = 7.85 − 2.55² = 1.348
σ = √1.348 = 1.161
答え
σ = 1.161
4.確率
答え: P = 0.2734
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 4) = 35·0.54·0.53 = 35·0.0625·0.125 = 0.2734
答え
P = 0.2734
5.正規分布
答え: P = 0.9306
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
和の分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
標準化する
z = (28.3 − 32)/2.5 = −1.48
上側確率
P = 1 − Φ(−1.48) = 1 − 0.06944 = 0.9306
答え
P = 0.9306
6.正規分布
答え: P = 0.9706
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02121 mm
標準化する
z = (0 − 0.04)/0.02121 = −1.89
確率
P = 1 − Φ(−1.89) = 0.9706
答え
P = 0.9706
7.信頼区間
答え: E₂ = 6.44
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(36/36) = 1.314
新しい誤差の幅
E₂ = 4.9·1.314 = 6.44
答え
E₂ = 6.44
8.信頼区間
答え: σ = 9.751 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 15·6.3² = 595.4
σ² の限界
595.4/27.488 = 21.66
595.4/6.262 = 95.07
σ の限界
σ = √95.07 = 9.751 µm
答え
σ = 9.751 µm
σ の 95% 区間：[4.654, 9.751] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 0.675
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889
検定統計量
t = (200.6 − 200)/0.8889 = 0.675
答え
t = 0.675
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: U = 123.1
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 2.576·15/√49 = 5.52
区間の端
U = 117.6 + 5.52 = 123.1
答え
U = 123.1
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9789
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 308/5 = 61.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 297
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1001
決定係数
r² = 297²/(90·1001) = 0.9789
答え
r² = 0.9789
y の変動の約 97.89% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: e = −4.2
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21.4
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36
回帰直線
b = −36/10 = −3.6
a = 21.4 − (−3.6)·3 = 32.2
ŷ = 32.2 − 3.6·x
予測値
ŷ = 32.2 + (−3.6)·2.5 = 23.2
残差
e = 19 − 23.2 = −4.2
答え
e = −4.2
点は直線より下にあります。
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