統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
20253035404550

データの標本標準偏差 s を求めなさい：46, 18, 16, 34, 52。

n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 50、標準偏差 12 の正規分布に従います。26 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 50σ = 12x = 26
P =
3.確率ふつう
xp(x)00.0510.0520.2530.340.35μ = 2.85

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.05, 0.25, 0.3, 0.35
σ =
4.確率むずかしい
n = 8, p = 0.4: P(X ≤ 1) = ?k012345678

部品を 8 個試験し、各部品は独立に確率 0.4 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 8p = 0.4
P =
5.正規分布ふつう
200 mm199.8 mmX + Y?

X は平均 120 mm、標準偏差 0.3 mm の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 80 mm、標準偏差 0.4 mm の正規分布に従います。X + Y が 199.8 mm を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 199.8 mm
P =
6.正規分布むずかしい
0.02 mm0D − d?

穴の直径 D は平均 25.02 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.信頼区間ふつう
n = 6, sd​ = 1.70L = ?Ud̄ = 8.4E95%

6 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 8.4、標準偏差は 1.7 です。 差の平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 6d̄ = 8.4sd = 1.795%t(5) = 2.571
下限 = mmHg
8.信頼区間むずかしい
μ₁ − μ₂, t(24) = 2.7970L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

2 種類の肥料を試験します。区画群 1：13 区画、平均収量 67 kg、標準偏差 1 kg。区画群 2：13 区画、平均 57 kg、標準偏差 1.5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n₁ = 13x̄₁ = 67s₁ = 1n₂ = 13x̄₂ = 57s₂ = 1.599%t(24) = 2.797
下限 = kg
9.仮説検定と信頼区間ふつう
t −1.99801.998

学生 64 人の標本の平均点は 70.35、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 70.35s = 12n = 64
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −1.64501.645

49 回の測定の標本平均は 200.9 です。母標準偏差は 4 です。平均の 90% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 200.9σ = 4n = 4990%
L =
11.線形回帰と相関ふつう
xy137348550754963xy5405060

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy37157879391091111713136xy510100x = 4

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (4, 76) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(4, 76)
e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 16.16

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 166/5 = 33.2

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 12.8² + (−15.2)² + (−17.2)² + 0.8² + 18.8² = 1045

標準偏差

s = √(1045/4) = 16.16

答え

s = 16.16
2.記述統計

答え: P = 0.02275

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −2

標準正規分布表

Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275

答え

P = 0.02275
3.確率

答え: σ = 1.108

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.05 + 1·0.05 + 2·0.25 + 3·0.3 + 4·0.35 = 2.85

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.05 + 1·0.05 + 4·0.25 + 9·0.3 + 16·0.35 = 9.35

分散

Var(X) = 9.35 − 2.85² = 1.228
σ = √1.228 = 1.108

答え

σ = 1.108
4.確率

答え: P = 0.1064

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.68 = 0.0168
P(X = 1) = 8·0.4·0.67 = 0.08958

足し合わせる

P = 0.0168 + 0.08958 = 0.1064

答え

P = 0.1064
5.正規分布

答え: P = 0.6554

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

標準化する

z = (199.8 − 200)/0.5 = −0.4

上側確率

P = 1 − Φ(−0.4) = 1 − 0.3446 = 0.6554

答え

P = 0.6554
6.正規分布

答え: P = 0.8665

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm

標準化する

z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11

確率

P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665

答え

P = 0.8665
7.信頼区間

答え: 下限 = 6.616 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 5, t = 2.571

誤差の幅

E = 2.571·1.7/√6 = 1.784

区間

8.4 ± 1.784 → [6.616, 10.18]

答え

下限 = 6.616 mmHg
8.信頼区間

答え: 下限 = 8.601 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

プールした標準偏差

sp² = (12·1² + 12·1.5²)/24 = 1.625
sp = 1.275

誤差の幅

E = 2.797·1.275·√(1/13 + 1/13) = 1.399

区間

10 ± 1.399 → [8.601, 11.4]

答え

下限 = 8.601 kg
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −3.1

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 12/√64 = 12/8 = 1.5

検定統計量

t = (70.35 − 75)/1.5 = −3.1

答え

t = −3.1
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| > 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: L = 200

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

誤差の幅

E = 1.645·4/√49 = 0.94

区間の端

L = 200.9 − 0.94 = 200

答え

L = 200
11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9418

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 252/5 = 50.4

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116
Syy = Σ(y − ȳ)² = 357.2

決定係数

r² = 116²/(40·357.2) = 0.9418

答え

r² = 0.9418

y の変動の約 94.18% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: e = 1.505

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 604/6 = 100.7

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 458

回帰直線

b = 458/70 = 6.543
a = 100.7 − 6.543·8 = 48.32
ŷ = 48.32 + 6.543·x

予測値

ŷ = 48.32 + 6.543·4 = 74.5

残差

e = 76 − 74.5 = 1.505

答え

e = 1.505

点は直線より上にあります。

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