記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：52, 40, 29, 28, 34。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 40 の正規分布に従います。480 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500σ = 40x = 480
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.1, 0.35, 0.35, 0.2
Var(X) =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 7 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.25 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 7p = 0.25k = 2
P =
5.正規分布ふつう
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。29.3 から 44 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 32σ = 6x1 = 29.3x2 = 44
P =
6.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.02 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.信頼区間ふつう
8 個からなる標本の平均は 54.5、標準偏差は s = 6.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 8x̄ = 54.5s = 6.590%t(7) = 1.895
下限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 36 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 36E = 290%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
6 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は −7.38、差の標準偏差は 11.3 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
n = 6d̄ = −7.38sd = 11.3
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 20 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 20E = 195%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (19, 88) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(19, 88)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 9.839
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 183/5 = 36.6
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 15.4² + 3.4² + (−7.6)² + (−8.6)² + (−2.6)² = 387.2
標準偏差
s = √(387.2/4) = 9.839
答え
s = 9.839
2.記述統計
答え: z = −0.5
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (480 − 500)/40 = −0.5
答え
z = −0.5
3.確率
答え: Var(X) = 82.75
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.1 + 20·0.35 + 30·0.35 + 40·0.2 = 26.5
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.1 + 400·0.35 + 900·0.35 + 1600·0.2 = 785
分散
Var(X) = 785 − 26.5² = 82.75
答え
Var(X) = 82.75
4.確率
答え: P = 0.3115
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 2) = 21·0.252·0.755 = 21·0.0625·0.2373 = 0.3115
答え
P = 0.3115
5.正規分布
答え: P = 0.6509
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (29.3 − 32)/6 = −0.45
z₂ = (44 − 32)/6 = 2
間の面積
P = Φ(2) − Φ(−0.45) = 0.9772 − 0.3264 = 0.6509
答え
P = 0.6509
6.正規分布
答え: P = 0.8133
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm
標準化する
z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89
確率
P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133
答え
P = 0.8133
7.信頼区間
答え: 下限 = 50.15
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 7, t = 1.895
誤差の幅
E = 1.895·6.5/√8 = 4.355
区間
54.5 ± 4.355 → [50.15, 58.85]
答え
下限 = 50.15
8.信頼区間
答え: n = 877
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·36/2)² = 876.8
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 877
答え
n = 877
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.6
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
差の平均の標準誤差
SE = 11.3/√6 = 4.613
検定統計量
t = −7.38/4.613 = −1.6
答え
t = −1.6
df = 5 のとき、両側 5% の臨界値は 2.571 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 1537
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (1.96·20/1)² = 1537
切り上げる
n = 1537
答え
n = 1537
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.993
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 73/5 = 14.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114
Syy = Σ(y − ȳ)² = 327.2
決定係数
r² = 114²/(40·327.2) = 0.993
答え
r² = 0.993
y の変動の約 99.3% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: e = 4.6
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 391/5 = 78.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208
回帰直線
b = 208/40 = 5.2
a = 78.2 − 5.2·18 = −15.4
ŷ = −15.4 + 5.2·x
予測値
ŷ = −15.4 + 5.2·19 = 83.4
残差
e = 88 − 83.4 = 4.6
答え
e = 4.6
点は直線より上にあります。
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