記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：27, 16, 53, 59, 48, 30, 13。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 40 の正規分布に従います。540 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500σ = 40x = 540
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.25, 0.35, 0.05
Var(X) =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €5 です。確率 0.3 で €20、確率 0.05 で €100 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €5€20: p = 0.3€100: p = 0.05
E(G) = €
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.8708 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.8708
z =
6.正規分布むずかしい
ある集団の男性の身長 X と女性の身長 Y は独立な正規変数です：X は平均 180 cm、標準偏差 10 cm、Y は平均 170 cm、標準偏差 12 cm です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.信頼区間ふつう
13 個からなる標本の平均は 33、標準偏差は s = 13.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 13x̄ = 33s = 13.590%t(12) = 1.782
上限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 13 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 1.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 13E = 1.599%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 64 人の標本の平均点は 501.8、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 500x̄ = 501.8s = 5n = 64
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
64 回の測定の標本平均は 51.7 です。母標準偏差は 15 です。平均の 90% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
x̄ = 51.7σ = 15n = 6490%
L =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 4.5 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 5x = 4.5
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 18.27
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 246/7 = 35.14
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−8.143)² + (−19.14)² + 17.86² + 23.86² + 12.86² + (−5.143)² + (−22.14)² = 2003
標準偏差
s = √(2003/6) = 18.27
答え
s = 18.27
2.記述統計
答え: z = 1
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (540 − 500)/40 = 1
答え
z = 1
3.確率
答え: Var(X) = 89
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.35 + 20·0.25 + 30·0.35 + 40·0.05 = 21
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.35 + 400·0.25 + 900·0.35 + 1600·0.05 = 530
分散
Var(X) = 530 − 21² = 89
答え
Var(X) = 89
4.確率
答え: E(G) = 6 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 15 (p = 0.3), 95 (p = 0.05), −5 (p = 0.65)
期待値
E(G) = 15·0.3 + 95·0.05 − 5·0.65 = 6 €
答え
E(G) = 6 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
5.正規分布
答え: z = −1.13
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.8708 = 0.1292
z 表を逆に読む
表の中で 0.1292 を見つけ、z を読み取ります。
z = −1.13
答え
z = −1.13
6.正規分布
答え: P = 0.7389
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
標準化する
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
確率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答え
P = 0.7389
7.信頼区間
答え: 上限 = 39.67
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 12, t = 1.782
誤差の幅
E = 1.782·13.5/√13 = 6.672
区間
33 ± 6.672 → [26.33, 39.67]
答え
上限 = 39.67
8.信頼区間
答え: n = 499
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·13/1.5)² = 498.4
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 499
答え
n = 499
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.88
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625
検定統計量
t = (501.8 − 500)/0.625 = 2.88
答え
t = 2.88
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: L = 48.62
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 1.645·15/√64 = 3.084
区間の端
L = 51.7 − 3.084 = 48.62
答え
L = 48.62
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9735
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 658/6 = 109.7
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 368
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2041
相関係数
r = 368/√(70·2041) = 0.9735
答え
r = 0.9735
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 22.5
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 123/5 = 24.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
回帰直線
b = −14/10 = −1.4
a = 24.6 − (−1.4)·3 = 28.8
ŷ = 28.8 − 1.4·x
予測
ŷ = 28.8 + (−1.4)·4.5 = 22.5
答え
ŷ = 22.5
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