記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：20, 33, 33, 14, 57, 20, 30。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 50、標準偏差 20 の正規分布に従います。26 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 50σ = 20x = 26
P =
3.確率ふつう
9 人のグループから 4 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 9k = 4
N =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 5 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.4 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 5p = 0.4k = 2
P =
5.正規分布ふつう
荷物を持つ乗客 の質量は互いに独立で、平均 85 kg、標準偏差 12 kg の正規分布に従います。そのうち 6 個の合計質量が 524.7 kg を下回る確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6< 524.7 kg
P =
6.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.02 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.信頼区間ふつう
11 個からなる標本の平均は 110、標準偏差は s = 1 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 11x̄ = 110s = 195%t(10) = 2.228
下限 =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 20 本の軸の直径の標本標準偏差は 10.7 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 19 のとき、χ² 分布の 2.5% は 8.907 より下に、2.5% は 32.852 より上にあります。
n = 20s = 10.7 µmχ² = 8.907, 32.852
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：11 人の学生、平均点 60.5、標準偏差 10.5。グループ 2：5 人の学生、平均点 57.5、標準偏差 4.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 11x̄₁ = 60.5s₁ = 10.5n₂ = 5x̄₂ = 57.5s₂ = 4.5
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 80 対 H₁: μ < 80 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 36 で行います。標準偏差は 18 であることがわかっています。実際の平均は 70.7 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 80μ = 70.7σ = 18n = 36α = 0.10
β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (3.5, 16) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(3.5, 16)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 14.15
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 207/7 = 29.57
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−9.571)² + 3.429² + 3.429² + (−15.57)² + 27.43² + (−9.571)² + 0.4286² = 1202
標準偏差
s = √(1202/6) = 14.15
答え
s = 14.15
2.記述統計
答え: P = 0.8849
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1.2
標準正規分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849
答え
P = 0.8849
3.確率
答え: N = 126
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126
答え
N = 126
4.確率
答え: P = 0.3456
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 2) = 10·0.42·0.63 = 10·0.16·0.216 = 0.3456
答え
P = 0.3456
5.正規分布
答え: P = 0.6915
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
合計の分布
μT = 510 kg, σT = 12·√6 = 29.39 kg
標準化する
z = (524.7 − 510)/29.39 = 0.5
確率
P = Φ(0.5) = 0.6915
答え
P = 0.6915
6.正規分布
答え: P = 0.8665
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm
標準化する
z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11
確率
P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665
答え
P = 0.8665
7.信頼区間
答え: 下限 = 109.3
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 10, t = 2.228
誤差の幅
E = 2.228·1/√11 = 0.6718
区間
110 ± 0.6718 → [109.3, 110.7]
答え
下限 = 109.3
8.信頼区間
答え: σ = 15.63 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 19·10.7² = 2175
σ² の限界
2175/32.852 = 66.22
2175/8.907 = 244.2
σ の限界
σ = √244.2 = 15.63 µm
答え
σ = 15.63 µm
σ の 95% 区間：[8.137, 15.63] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 0.605
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散
sp² = (10·10.5² + 4·4.5²)/14 = 84.54
sp = 9.194
標準誤差
SE = 9.194·√(1/11 + 1/5) = 4.959
検定統計量
t = (60.5 − 57.5)/4.959 = 0.605
答え
t = 0.605
df = 14 のとき、両側 5% の臨界値は 2.145 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: β = 3.453 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 18/√36 = 3
x̄c = 80 − 1.282·3 = 76.15
真の平均のもとでの z
z = (76.15 − 70.7)/3 = 1.818
第 2 種の誤り
検出力 = P(Z < 1.818) = 96.55%
β = 100% − 96.55% = 3.453%
答え
β = 3.453%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9303
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 180/5 = 36
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 30
Syy = Σ(y − ȳ)² = 104
相関係数
r = 30/√(10·104) = 0.9303
答え
r = 0.9303
12.線形回帰と相関
答え: e = −2.65
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
回帰直線
b = −27/10 = −2.7
a = 20 − (−2.7)·3 = 28.1
ŷ = 28.1 − 2.7·x
予測値
ŷ = 28.1 + (−2.7)·3.5 = 18.65
残差
e = 16 − 18.65 = −2.65
答え
e = −2.65
点は直線より下にあります。
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