記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：21, 50, 58, 47, 57, 46, 49。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 100、標準偏差 8 の正規分布に従います。84 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 100σ = 8x = 84
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.3, 0.35, 0.15
σ =
4.確率むずかしい
部品を 11 個試験し、各部品は独立に確率 0.2 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 11p = 0.2
P =
5.正規分布ふつう
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。26 から 42.8 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 32σ = 6x1 = 26x2 = 42.8
P =
6.正規分布むずかしい
成人男性の身長 は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。色つきの下位 5% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 178 cmσ = 7 cm5%
x = cm
7.信頼区間ふつう
12 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は −0.6、標準偏差は 6.7 です。 差の平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 12d̄ = −0.6sd = 6.790%t(11) = 1.796
下限 = mmHg
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 15 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 15E = 190%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 25 人の標本の平均点は 51.68、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 50x̄ = 51.68s = 4n = 25
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 1.5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 10 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.05検出力 = 80%δ = 1.5σ = 10zα = 1.645zβ = 0.842
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 66 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 6ŷ = 66
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 12.32
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 328/7 = 46.86
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−25.86)² + 3.143² + 11.14² + 0.1429² + 10.14² + (−0.8571)² + 2.143² = 910.9
標準偏差
s = √(910.9/6) = 12.32
答え
s = 12.32
2.記述統計
答え: P = 0.9772
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −2
標準正規分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772
答え
P = 0.9772
3.確率
答え: σ = 1.947
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.2 + 2·0.3 + 4·0.35 + 6·0.15 = 2.9
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.2 + 4·0.3 + 16·0.35 + 36·0.15 = 12.2
分散
Var(X) = 12.2 − 2.9² = 3.79
σ = √3.79 = 1.947
答え
σ = 1.947
4.確率
答え: P = 0.3221
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.811 = 0.0859
P(X = 1) = 11·0.2·0.810 = 0.2362
足し合わせる
P = 0.0859 + 0.2362 = 0.3221
答え
P = 0.3221
5.正規分布
答え: P = 0.8054
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (26 − 32)/6 = −1
z₂ = (42.8 − 32)/6 = 1.8
間の面積
P = Φ(1.8) − Φ(−1) = 0.9641 − 0.1587 = 0.8054
答え
P = 0.8054
6.正規分布
答え: x = 166.5 cm
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.05
表からの z
z ≈ −1.64
元の単位に戻す
x = 178 − 1.64·7 = 166.5 cm
答え
x = 166.5 cm
7.信頼区間
答え: 下限 = −4.074 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
臨界値
df = 11, t = 1.796
誤差の幅
E = 1.796·6.7/√12 = 3.474
区間
−0.6 ± 3.474 → [−4.074, 2.874]
答え
下限 = −4.074 mmHg
8.信頼区間
答え: n = 609
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·15/1)² = 608.9
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 609
答え
n = 609
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.1
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8
検定統計量
t = (51.68 − 50)/0.8 = 2.1
答え
t = 2.1
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 275
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((1.645 + 0.842)·10/1.5)² = 274.9
切り上げる
n = 275
答え
n = 275
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9486
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 58/5 = 11.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82
Syy = Σ(y − ȳ)² = 177.2
決定係数
r² = 82²/(40·177.2) = 0.9486
答え
r² = 0.9486
y の変動の約 94.86% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: x = 24.9
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 354/6 = 59
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258
回帰直線
b = 258/70 = 3.686
a = 59 − 3.686·23 = −25.77
ŷ = −25.77 + 3.686·x
x について解く
x = (66 − (−25.77))/3.686 = 24.9
答え
x = 24.9
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