統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
2530354045505560

データの標本標準偏差 s を求めなさい：43, 23, 52, 55, 27, 60, 23。

n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 60、標準偏差 15 の正規分布に従います。30 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 60σ = 15x = 30
z =
3.確率ふつう
赤: 4青: 6

袋に赤玉 4 個と青玉 6 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

4 / 6
P =
4.確率むずかしい
n = 6, p = 0.25: P(X ≤ 1) = ?k0123456

部品を 6 個試験し、各部品は独立に確率 0.25 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 6p = 0.25
P =
5.正規分布ふつう
200 mm201 mmX + Y?

X は平均 120 mm、標準偏差 0.3 mm の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 80 mm、標準偏差 0.4 mm の正規分布に従います。X + Y が 201 mm を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 201 mm
P =
6.正規分布むずかしい
35455565758595点下端 10%

試験の得点 は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。色つきの下位 10% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 65 点σ = 10 点10%
x = 点
7.信頼区間ふつう
n = 15, s = 16LU = ?x̄ = 69.5E95%

15 個からなる標本の平均は 69.5、標準偏差は s = 16 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 15x̄ = 69.5s = 1695%t(14) = 2.145
上限 =
8.信頼区間むずかしい
σ = 14, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.599%

母標準偏差は 14 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 14E = 0.599%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.18p = ?

ある母集団の平均は 120 であると主張されています。母標準偏差は 15 であることがわかっています。36 個の観測値からなる無作為標本の平均は 114.55 です。H₀: μ = 120 対 H₁: μ < 120 を検定します。p 値 p を求めなさい。

μ₀ = 120σ = 15n = 36x̄ = 114.55H₁: μ < μ₀
p =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
μ₀x̄c

H₀: μ = 100 対 H₁: μ < 100 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 5 であることがわかっています。実際の平均は 98.9 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。

μ₀ = 100μ = 98.9σ = 5n = 100α = 0.10
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
xy240337448544652757xy2464050

表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy125222324422517617xy2462025x = 2.5

表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 2.5 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 6x = 2.5
ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 15.94

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 283/7 = 40.43

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 2.571² + (−17.43)² + 11.57² + 14.57² + (−13.43)² + 19.57² + (−17.43)² = 1524

標準偏差

s = √(1524/6) = 15.94

答え

s = 15.94
2.記述統計

答え: z = −2

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (30 − 60)/15 = −2

答え

z = −2
3.確率

答え: P = 0.1333

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 0.1333

答え

P = 0.1333
4.確率

答え: P = 0.5339

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.756 = 0.178
P(X = 1) = 6·0.25·0.755 = 0.356

足し合わせる

P = 0.178 + 0.356 = 0.5339

答え

P = 0.5339
5.正規分布

答え: P = 0.02275

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

標準化する

z = (201 − 200)/0.5 = 2

上側確率

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

答え

P = 0.02275
6.正規分布

答え: x = 52.2 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.1

表からの z

z ≈ −1.28

元の単位に戻す

x = 65 − 1.28·10 = 52.2 点

答え

x = 52.2 点
7.信頼区間

答え: 上限 = 78.36

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 14, t = 2.145

誤差の幅

E = 2.145·16/√15 = 8.861

区間

69.5 ± 8.861 → [60.64, 78.36]

答え

上限 = 78.36
8.信頼区間

答え: n = 5203

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·14/0.5)² = 5202

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 5203

答え

n = 5203
9.仮説検定と信頼区間

答え: p = 0.01463

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

検定統計量

SE = σ/√n = 15/√36 = 2.5
z = (114.55 − 120)/2.5 = −2.18

裾の面積

Φ(2.18) = 0.9854
1 − Φ(2.18) = 0.0146

p 値

p = 0.01463

答え

p = 0.01463

p ≤ 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: 1 − β = 82.07 %

検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

臨界標本平均

SE = 5/√100 = 0.5
x̄c = 100 − 1.282·0.5 = 99.36

真の平均のもとでの z

z = (99.36 − 98.9)/0.5 = 0.918

電力

検出力 = P(Z < 0.918) = 82.07%
1 − β = 82.07%

答え

1 − β = 82.07%
11.線形回帰と相関

答え: r = 0.8979

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 278/6 = 46.33

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 63
Syy = Σ(y − ȳ)² = 281.3

相関係数

r = 63/√(17.5·281.3) = 0.8979

答え

r = 0.8979
12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 22.8

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 127/6 = 21.17

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28.5

回帰直線

b = −28.5/17.5 = −1.629
a = 21.17 − (−1.629)·3.5 = 26.87
ŷ = 26.87 − 1.629·x

予測

ŷ = 26.87 + (−1.629)·2.5 = 22.8

答え

ŷ = 22.8

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