記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：18, 22, 15, 50, 11, 57, 13。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 100、標準偏差 15 の正規分布に従います。88 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 100σ = 15x = 88
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.3, 0.25, 0.15
Var(X) =
4.確率むずかしい
部品を 10 個試験し、各部品は独立に確率 0.6 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 10p = 0.6
P =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.0985 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.0985
z =
6.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.05 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.信頼区間ふつう
30 個からなる標本の平均は 18、標準偏差は s = 17 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 30x̄ = 18s = 1795%t(29) = 2.045
下限 =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 21 本の軸の直径の標本標準偏差は 2.9 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 20 のとき、χ² 分布の 2.5% は 9.591 より下に、2.5% は 34.17 より上にあります。
n = 21s = 2.9 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 49 人の標本の平均点は 205.1、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 205.1s = 15n = 49
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
49 回の測定の標本平均は 46.8 です。母標準偏差は 8 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
x̄ = 46.8σ = 8n = 4999%
L =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 16 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 5ŷ = 16
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 18.84
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 186/7 = 26.57
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−8.571)² + (−4.571)² + (−11.57)² + 23.43² + (−15.57)² + 30.43² + (−13.57)² = 2130
標準偏差
s = √(2130/6) = 18.84
答え
s = 18.84
2.記述統計
答え: z = −0.8
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (88 − 100)/15 = −0.8
答え
z = −0.8
3.確率
答え: Var(X) = 4.35
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.3 + 2·0.3 + 4·0.25 + 6·0.15 = 2.5
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.3 + 4·0.3 + 16·0.25 + 36·0.15 = 10.6
分散
Var(X) = 10.6 − 2.5² = 4.35
答え
Var(X) = 4.35
4.確率
答え: P = 0.001678
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.410 = 0.0001049
P(X = 1) = 10·0.6·0.49 = 0.001573
足し合わせる
P = 0.0001049 + 0.001573 = 0.001678
答え
P = 0.001678
5.正規分布
答え: z = 1.29
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.0985 = 0.9015
z 表を逆に読む
表の中で 0.9015 を見つけ、z を読み取ります。
z = 1.29
答え
z = 1.29
6.正規分布
答え: P = 0.9875
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02236 mm
標準化する
z = (0 − 0.05)/0.02236 = −2.24
確率
P = 1 − Φ(−2.24) = 0.9875
答え
P = 0.9875
7.信頼区間
答え: 下限 = 11.65
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 29, t = 2.045
誤差の幅
E = 2.045·17/√30 = 6.347
区間
18 ± 6.347 → [11.65, 24.35]
答え
下限 = 11.65
8.信頼区間
答え: σ = 4.188 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 20·2.9² = 168.2
σ² の限界
168.2/34.17 = 4.922
168.2/9.591 = 17.54
σ の限界
σ = √17.54 = 4.188 µm
答え
σ = 4.188 µm
σ の 95% 区間：[2.219, 4.188] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.38
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 15/√49 = 15/7 = 2.143
検定統計量
t = (205.1 − 200)/2.143 = 2.38
答え
t = 2.38
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: L = 43.86
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 2.576·8/√49 = 2.944
区間の端
L = 46.8 − 2.944 = 43.86
答え
L = 43.86
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.7934
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 230/5 = 46
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38
Syy = Σ(y − ȳ)² = 182
決定係数
r² = 38²/(10·182) = 0.7934
答え
r² = 0.7934
y の変動の約 79.34% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: x = 9.111
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 59/5 = 11.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
回帰直線
b = 54/40 = 1.35
a = 11.8 − 1.35·6 = 3.7
ŷ = 3.7 + 1.35·x
x について解く
x = (16 − 3.7)/1.35 = 9.111
答え
x = 9.111
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