記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：19, 26, 41, 34, 48, 39。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 60、標準偏差 8 の正規分布に従います。56 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 60σ = 8x = 56
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.2, 0.2, 0.25
σ =
4.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = −2X + 1 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.1, 0.25, 0.35Y = −2X + 1
σY =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.9713 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.9713
z =
6.正規分布むずかしい
ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.信頼区間ふつう
σ が既知のもとで 50 個の観測値に基づく平均の 90% 信頼区間の誤差の幅は 5.5 です。 同じ研究で代わりに 450 個の観測値を使うと、誤差の幅 E₂ はいくらになりますか？
90%n₁ = 50E₁ = 5.5n₂ = 450
E₂ =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 30 本の軸の直径の標本標準偏差は 1 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 29 のとき、χ² 分布の 2.5% は 16.047 より下に、2.5% は 45.722 より上にあります。
n = 30s = 1 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 16 人の標本の平均点は 125.3、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120x̄ = 125.3s = 10n = 16
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 5 単位のずれを検出力 95% で検出しなければなりません。標準偏差は 12 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.01検出力 = 95%δ = 5σ = 12zα = 2.326zβ = 1.645
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6Σx = 42Σy = 131Σx² = 364Σy² = 3413Σxy = 1112
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (11, 12) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(11, 12)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 10.56
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 207/6 = 34.5
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−15.5)² + (−8.5)² + 6.5² + (−0.5)² + 13.5² + 4.5² = 557.5
標準偏差
s = √(557.5/5) = 10.56
答え
s = 10.56
2.記述統計
答え: z = −0.5
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (56 − 60)/8 = −0.5
答え
z = −0.5
3.確率
答え: σ = 11.95
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.35 + 20·0.2 + 30·0.2 + 40·0.25 = 23.5
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.35 + 400·0.2 + 900·0.2 + 1600·0.25 = 695
分散
Var(X) = 695 − 23.5² = 142.8
σ = √142.8 = 11.95
答え
σ = 11.95
4.確率
答え: σY = 2.472
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 2.65, Var(X) = 1.528, σX = 1.236
一次変換
σY = |−2|·1.236 = 2.472
答え
σY = 2.472
平均は変化します：E(Y) = −2·2.65 + 1 = −4.3。
5.正規分布
答え: z = −1.9
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.9713 = 0.0287
z 表を逆に読む
表の中で 0.0287 を見つけ、z を読み取ります。
z = −1.90
答え
z = −1.90
6.正規分布
答え: P = 0.8413
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
標準化する
z = (0 − 10)/10 = −1
確率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答え
P = 0.8413
7.信頼区間
答え: E₂ = 1.833
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(50/450) = 0.3333
新しい誤差の幅
E₂ = 5.5·0.3333 = 1.833
答え
E₂ = 1.833
8.信頼区間
答え: σ = 0.7964 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 29·1² = 29
σ² の限界
29/45.722 = 0.6343
29/16.047 = 1.807
σ の限界
σ = √0.6343 = 0.7964 µm
答え
σ = 0.7964 µm
σ の 95% 区間：[0.7964, 1.344] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.12
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5
検定統計量
t = (125.3 − 120)/2.5 = 2.12
答え
t = 2.12
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 91
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((2.326 + 1.645)·12/5)² = 90.83
切り上げる
n = 91
答え
n = 91
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9913
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 1112 − 42·131/6 = 195
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 3413 − 131²/6 = 552.8
相関係数
r = 195/√(70·552.8) = 0.9913
答え
r = 0.9913
12.線形回帰と相関
答え: e = −4.962
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 62/6 = 10.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116
回帰直線
b = 116/70 = 1.657
a = 10.33 − 1.657·7 = −1.267
ŷ = −1.267 + 1.657·x
予測値
ŷ = −1.267 + 1.657·11 = 16.96
残差
e = 12 − 16.96 = −4.962
答え
e = −4.962
点は直線より下にあります。
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