記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：31, 60, 25, 46, 26, 17, 27。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 60、標準偏差 10 の正規分布に従います。52 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 60σ = 10x = 52
z =
3.確率ふつう
公正なさいころを 4 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 4
P =
4.確率むずかしい
部品を 7 個試験し、各部品は独立に確率 0.1 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 7p = 0.1
P =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.6211 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.6211
z =
6.正規分布むずかしい
ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：60 台、平均 86 h、既知の標準偏差 15 h。機種 2：50 台、平均 77.5 h、既知の標準偏差 9 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 60x̄₁ = 86 hσ₁ = 15 hn₂ = 50x̄₂ = 77.5 hσ₂ = 9 h90%
E = h
8.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：13 区画、平均収量 54 kg、標準偏差 6.5 kg。区画群 2：8 区画、平均 44 kg、標準偏差 3 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 13x̄₁ = 54s₁ = 6.5n₂ = 8x̄₂ = 44s₂ = 390%t(19) = 1.729
下限 = kg
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 16 人の標本の平均点は 78.4、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75x̄ = 78.4s = 8n = 16
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 100 対 H₁: μ < 100 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 10 であることがわかっています。実際の平均は 98.5 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 100μ = 98.5σ = 10n = 100α = 0.10
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (11, 77) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(11, 77)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 14.76
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 232/7 = 33.14
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−2.143)² + 26.86² + (−8.143)² + 12.86² + (−7.143)² + (−16.14)² + (−6.143)² = 1307
標準偏差
s = √(1307/6) = 14.76
答え
s = 14.76
2.記述統計
答え: z = −0.8
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (52 − 60)/10 = −0.8
答え
z = −0.8
3.確率
答え: P = 0.5177
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177
答え
P = 0.5177
4.確率
答え: P = 0.8503
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.97 = 0.4783
P(X = 1) = 7·0.1·0.96 = 0.372
足し合わせる
P = 0.4783 + 0.372 = 0.8503
答え
P = 0.8503
5.正規分布
答え: z = 0.88
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = (1 + 0.6211)/2 = 0.8106
z 表を逆に読む
表の中で 0.8106 を見つけ、z を読み取ります。
z = 0.88
答え
z = 0.88
6.正規分布
答え: P = 0.8413
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
標準化する
z = (0 − 10)/10 = −1
確率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答え
P = 0.8413
7.信頼区間
答え: E = 3.812 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 86 − 77.5 = 8.5
標準誤差
SE = √(15²/60 + 9²/50) = 2.317
誤差の幅
E = 1.645·2.317 = 3.812
答え
E = 3.812 h
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
8.信頼区間
答え: 下限 = 5.745 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差
sp² = (12·6.5² + 7·3²)/19 = 30
sp = 5.477
誤差の幅
E = 1.729·5.477·√(1/13 + 1/8) = 4.255
区間
10 ± 4.255 → [5.745, 14.26]
答え
下限 = 5.745 kg
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.7
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
検定統計量
t = (78.4 − 75)/2 = 1.7
答え
t = 1.7
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 58.63 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 100 − 1.282·1 = 98.72
真の平均のもとでの z
z = (98.72 − 98.5)/1 = 0.218
電力
検出力 = P(Z < 0.218) = 58.63%
1 − β = 58.63%
答え
1 − β = 58.63%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9689
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 511/6 = 85.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 133.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1085
相関係数
r = 133.5/√(17.5·1085) = 0.9689
答え
r = 0.9689
12.線形回帰と相関
答え: e = −1.619
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 386/6 = 64.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 250
回帰直線
b = 250/70 = 3.571
a = 64.33 − 3.571·7 = 39.33
ŷ = 39.33 + 3.571·x
予測値
ŷ = 39.33 + 3.571·11 = 78.62
残差
e = 77 − 78.62 = −1.619
答え
e = −1.619
点は直線より下にあります。
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