記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：20, 57, 15, 41, 32, 55, 36。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 60、標準偏差 12 の正規分布に従います。72 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 60σ = 12x = 72
P =
3.確率ふつう
公正なさいころを 8 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 8
P =
4.確率むずかしい
部品を 8 個試験し、各部品は独立に確率 0.4 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 8p = 0.4
P =
5.正規分布ふつう
袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。248.75 から 260 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 250σ = 5x1 = 248.75x2 = 260
P =
6.正規分布むずかしい
電池の寿命 は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの下位 85% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 500 hσ = 40 h85%
x = h
7.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：50 台、平均 140 h、既知の標準偏差 10 h。機種 2：40 台、平均 151 h、既知の標準偏差 6 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 50x̄₁ = 140 hσ₁ = 10 hn₂ = 40x̄₂ = 151 hσ₂ = 6 h90%
E = h
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 23 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 23E = 299%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 64 人の標本の平均点は 116.6、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120x̄ = 116.6s = 15n = 64
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 20 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 20E = 399%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6Σx = 126Σy = 293Σx² = 2716Σy² = 14919Σxy = 6340
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (6, 61) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(6, 61)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 16.01
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 256/7 = 36.57
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−16.57)² + 20.43² + (−21.57)² + 4.429² + (−4.571)² + 18.43² + (−0.5714)² = 1538
標準偏差
s = √(1538/6) = 16.01
答え
s = 16.01
2.記述統計
答え: P = 0.8413
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 1
標準正規分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
答え
P = 0.8413
3.確率
答え: P = 0.7674
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)8 = 0.2326
P = 1 − 0.2326 = 0.7674
答え
P = 0.7674
4.確率
答え: P = 0.1064
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.68 = 0.0168
P(X = 1) = 8·0.4·0.67 = 0.08958
足し合わせる
P = 0.0168 + 0.08958 = 0.1064
答え
P = 0.1064
5.正規分布
答え: P = 0.576
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (248.75 − 250)/5 = −0.25
z₂ = (260 − 250)/5 = 2
間の面積
P = Φ(2) − Φ(−0.25) = 0.9772 − 0.4013 = 0.576
答え
P = 0.576
6.正規分布
答え: x = 542 h
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.85
表からの z
z ≈ 1.04
元の単位に戻す
x = 500 + 1.04·40 = 542 h
答え
x = 542 h
7.信頼区間
答え: E = 2.801 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 140 − 151 = −11
標準誤差
SE = √(10²/50 + 6²/40) = 1.703
誤差の幅
E = 1.645·1.703 = 2.801
答え
E = 2.801 h
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
8.信頼区間
答え: n = 878
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·23/2)² = 877.6
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 878
答え
n = 878
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.813
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875
検定統計量
t = (116.6 − 120)/1.875 = −1.813
答え
t = −1.813
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 295
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (2.576·20/3)² = 294.9
切り上げる
n = 295
答え
n = 295
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9043
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 6340 − 126·293/6 = 187
Sxx = 2716 − 126²/6 = 70
Syy = 14919 − 293²/6 = 610.8
相関係数
r = 187/√(70·610.8) = 0.9043
答え
r = 0.9043
12.線形回帰と相関
答え: e = −4.45
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 348/5 = 69.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166
回帰直線
b = 166/40 = 4.15
a = 69.6 − 4.15·7 = 40.55
ŷ = 40.55 + 4.15·x
予測値
ŷ = 40.55 + 4.15·6 = 65.45
残差
e = 61 − 65.45 = −4.45
答え
e = −4.45
点は直線より下にあります。
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