記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：39, 16, 50, 49, 23, 12。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 100、標準偏差 8 の正規分布に従います。103.2 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 100σ = 8x = 103.2
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.35, 0.1, 0.15, 0.05
Var(X) =
4.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = 0.5X + 4 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.05, 0.35, 0.35Y = 0.5X + 4
σY =
5.正規分布ふつう
試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。45.5 から 73 点 の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 65σ = 10x1 = 45.5x2 = 73
P =
6.正規分布むずかしい
袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。全体の 25% がそれより下にある値 x（第 25 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 250σ = 5P = 25%
x = g
7.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：40 台、平均 114.5 h、既知の標準偏差 14 h。機種 2：30 台、平均 117 h、既知の標準偏差 12 h。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 40x̄₁ = 114.5 hσ₁ = 14 hn₂ = 30x̄₂ = 117 hσ₂ = 12 h95%
E = h
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 32 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 32E = 0.599%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 81 人の標本の平均点は 195.1、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 195.1s = 20n = 81
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 80 対 H₁: μ < 80 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 7.5 であることがわかっています。実際の平均は 77.6 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 80μ = 77.6σ = 7.5n = 25α = 0.05
β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 35Σy = 268Σx² = 285Σy² = 14658Σxy = 1982
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 5 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 5
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 16.72
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 189/6 = 31.5
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 7.5² + (−15.5)² + 18.5² + 17.5² + (−8.5)² + (−19.5)² = 1398
標準偏差
s = √(1398/5) = 16.72
答え
s = 16.72
2.記述統計
答え: P = 0.6554
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 0.4
標準正規分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554
答え
P = 0.6554
3.確率
答え: Var(X) = 1.46
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.1 + 3·0.15 + 4·0.05 = 1.2
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.1 + 9·0.15 + 16·0.05 = 2.9
分散
Var(X) = 2.9 − 1.2² = 1.46
答え
Var(X) = 1.46
4.確率
答え: σY = 0.5831
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 1.8, Var(X) = 1.36, σX = 1.166
一次変換
σY = |0.5|·1.166 = 0.5831
答え
σY = 0.5831
平均は変化します：E(Y) = 0.5·1.8 + 4 = 4.9。
5.正規分布
答え: P = 0.7626
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (45.5 − 65)/10 = −1.95
z₂ = (73 − 65)/10 = 0.8
間の面積
P = Φ(0.8) − Φ(−1.95) = 0.7881 − 0.02559 = 0.7626
答え
P = 0.7626
6.正規分布
答え: x = 246.6 g
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
x に戻す
x = 250 + −0.6745·5 = 246.63 g
答え
x = 246.63 g
7.信頼区間
答え: E = 6.104 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 114.5 − 117 = −2.5
標準誤差
SE = √(14²/40 + 12²/30) = 3.114
誤差の幅
E = 1.96·3.114 = 6.104
答え
E = 6.104 h
区間は 0 を含むので、データは有意な差を示していません。
8.信頼区間
答え: n = 27181
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·32/0.5)² = 27180
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 27181
答え
n = 27181
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.205
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 20/√81 = 20/9 = 2.222
検定統計量
t = (195.1 − 200)/2.222 = −2.205
答え
t = −2.205
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: β = 51.79 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 7.5/√25 = 1.5
x̄c = 80 − 1.645·1.5 = 77.53
真の平均のもとでの z
z = (77.53 − 77.6)/1.5 = −0.045
第 2 種の誤り
検出力 = P(Z < −0.045) = 48.21%
β = 100% − 48.21% = 51.79%
答え
β = 51.79%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9788
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 1982 − 35·268/5 = 106
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 14658 − 268²/5 = 293.2
相関係数
r = 106/√(40·293.2) = 0.9788
答え
r = 0.9788
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 18.82
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 164/6 = 27.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 298
回帰直線
b = 298/70 = 4.257
a = 27.33 − 4.257·7 = −2.467
ŷ = −2.467 + 4.257·x
予測
ŷ = −2.467 + 4.257·5 = 18.82
答え
ŷ = 18.82
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