記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：45, 58, 11, 25, 41, 55, 50。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 60、標準偏差 8 の正規分布に従います。68 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 60σ = 8x = 68
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.25, 0.3, 0.2
Var(X) =
4.確率むずかしい
部品を 6 個試験し、各部品は独立に確率 0.3 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 6p = 0.3
P =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.7190 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.7190
z =
6.正規分布むずかしい
ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.信頼区間ふつう
25 個からなる標本の平均は 104.5、標準偏差は s = 8 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 25x̄ = 104.5s = 890%t(24) = 1.711
上限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 29 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 4 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 29E = 490%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 76.75、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75x̄ = 76.75s = 15n = 36
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 80 対 H₁: μ < 80 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 10 であることがわかっています。実際の平均は 73.8 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 80μ = 73.8σ = 10n = 25α = 0.05
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 6
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (21, 83) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(21, 83)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 17.02
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 285/7 = 40.71
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 4.286² + 17.29² + (−29.71)² + (−15.71)² + 0.2857² + 14.29² + 9.286² = 1737
標準偏差
s = √(1737/6) = 17.02
答え
s = 17.02
2.記述統計
答え: P = 0.1587
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 1
標準正規分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
答え
P = 0.1587
3.確率
答え: Var(X) = 114.8
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.25 + 20·0.25 + 30·0.3 + 40·0.2 = 24.5
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.25 + 400·0.25 + 900·0.3 + 1600·0.2 = 715
分散
Var(X) = 715 − 24.5² = 114.8
答え
Var(X) = 114.8
4.確率
答え: P = 0.4202
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.76 = 0.1176
P(X = 1) = 6·0.3·0.75 = 0.3025
足し合わせる
P = 0.1176 + 0.3025 = 0.4202
答え
P = 0.4202
5.正規分布
答え: z = −0.58
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.7190 = 0.2810
z 表を逆に読む
表の中で 0.2810 を見つけ、z を読み取ります。
z = −0.58
答え
z = −0.58
6.正規分布
答え: P = 0.8413
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
標準化する
z = (0 − 10)/10 = −1
確率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答え
P = 0.8413
7.信頼区間
答え: 上限 = 107.2
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 24, t = 1.711
誤差の幅
E = 1.711·8/√25 = 2.738
区間
104.5 ± 2.738 → [101.8, 107.2]
答え
上限 = 107.2
8.信頼区間
答え: n = 143
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·29/4)² = 142.2
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 143
答え
n = 143
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 0.7
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5
検定統計量
t = (76.75 − 75)/2.5 = 0.7
答え
t = 0.7
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 92.72 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 10/√25 = 2
x̄c = 80 − 1.645·2 = 76.71
真の平均のもとでの z
z = (76.71 − 73.8)/2 = 1.455
電力
検出力 = P(Z < 1.455) = 92.72%
1 − β = 92.72%
答え
1 − β = 92.72%
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9899
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 436/6 = 72.67
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216
Syy = Σ(y − ȳ)² = 673.3
決定係数
r² = 216²/(70·673.3) = 0.9899
答え
r² = 0.9899
y の変動の約 98.99% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: e = −3.5
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 519/6 = 86.5
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 373
回帰直線
b = 373/70 = 5.329
a = 86.5 − 5.329·21 = −25.4
ŷ = −25.4 + 5.329·x
予測値
ŷ = −25.4 + 5.329·21 = 86.5
残差
e = 83 − 86.5 = −3.5
答え
e = −3.5
点は直線より下にあります。
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