統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
2025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい：20, 33, 43, 20, 49, 55, 27。

n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 500、標準偏差 75 の正規分布に従います。425 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 500σ = 75x = 425
P =
3.確率ふつう
P(少なくとも 1 回 6 が出る) = ??1?2?3?4?5P(6) = 各回 1/6

公正なさいころを 5 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 5
P =
4.確率むずかしい
€p(x)−10.8920.1190.01

ゲームの参加費は €1 です。確率 0.1 で €3、確率 0.01 で €20 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €1€3: p = 0.1€20: p = 0.01
E(G) = €
5.正規分布ふつう
100 kg101 kgT = X₁ + … + X₄?

セメント袋 の質量は互いに独立で、平均 25 kg、標準偏差 0.5 kg の正規分布に従います。そのうち 4 個の合計質量が 101 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 4> 101 kg
P =
6.正規分布むずかしい
μ = 500x = ?97.5%

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。全体の 97.5% がそれより下にある値 x（第 97.5 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 500σ = 40P = 97.5%
x = h
7.信頼区間ふつう
n = 8, s = 18.5L = ?Ux̄ = 109E99%

8 個からなる標本の平均は 109、標準偏差は s = 18.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 8x̄ = 109s = 18.599%t(7) = 3.499
下限 =
8.信頼区間むずかしい
σ = 25, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.595%

母標準偏差は 25 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 25E = 2.595%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.2622.262t = ?df = 9

10 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は −6.41、差の標準偏差は 7.8 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 10d̄ = −6.41sd = 7.8
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
μ₀x̄c

H₀: μ = 500 対 H₁: μ > 500 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 15 であることがわかっています。実際の平均は 503.6 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。

μ₀ = 500μ = 503.6σ = 15n = 100α = 0.01
β = %
11.線形回帰と相関ふつう
xy21142162583410421253xy5102040

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 42Σy = 186Σx² = 364Σy² = 6916Σxy = 1584
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy143353558768980xy5406080x = 6

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (6, 69) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(6, 69)
e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 14.01

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 247/7 = 35.29

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−15.29)² + (−2.286)² + 7.714² + (−15.29)² + 13.71² + 19.71² + (−8.286)² = 1177

標準偏差

s = √(1177/6) = 14.01

答え

s = 14.01
2.記述統計

答え: P = 0.8413

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −1

標準正規分布表

Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413

答え

P = 0.8413
3.確率

答え: P = 0.5981

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981

答え

P = 0.5981
4.確率

答え: E(G) = −0.5 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 2 (p = 0.1), 19 (p = 0.01), −1 (p = 0.89)

期待値

E(G) = 2·0.1 + 19·0.01 − 1·0.89 = −0.5 €

答え

E(G) = −0.5 €

負の値は、平均して損をすることを意味します。

5.正規分布

答え: P = 0.1587

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μT = 100 kg, σT = 0.5·√4 = 1 kg

標準化する

z = (101 − 100)/1 = 1

確率

P = 1 − Φ(1) = 0.1587

答え

P = 0.1587
6.正規分布

答え: x = 578.4 h

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

x に戻す

x = 500 + 1.96·40 = 578.4 h

答え

x = 578.4 h
7.信頼区間

答え: 下限 = 86.11

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 7, t = 3.499

誤差の幅

E = 3.499·18.5/√8 = 22.89

区間

109 ± 22.89 → [86.11, 131.9]

答え

下限 = 86.11
8.信頼区間

答え: n = 385

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·25/2.5)² = 384.2

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 385

答え

n = 385
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −2.599

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 7.8/√10 = 2.467

検定統計量

t = −6.41/2.467 = −2.599

答え

t = −2.599

df = 9 のとき、両側 5% の臨界値は 2.262 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: β = 47.05 %

検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

臨界標本平均

SE = 15/√100 = 1.5
x̄c = 500 + 2.326·1.5 = 503.5

真の平均のもとでの z

z = (503.5 − 503.6)/1.5 = −0.074

第 2 種の誤り

検出力 = P(Z > −0.074) = 52.95%
β = 100% − 52.95% = 47.05%

答え

β = 47.05%
11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9939

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

Sxy = 1584 − 42·186/6 = 282
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 6916 − 186²/6 = 1150

相関係数

r = 282/√(70·1150) = 0.9939

答え

r = 0.9939
12.線形回帰と相関

答え: e = 4.15

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 302/5 = 60.4

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178

回帰直線

b = 178/40 = 4.45
a = 60.4 − 4.45·5 = 38.15
ŷ = 38.15 + 4.45·x

予測値

ŷ = 38.15 + 4.45·6 = 64.85

残差

e = 69 − 64.85 = 4.15

答え

e = 4.15

点は直線より上にあります。

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