記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：16, 44, 25, 12, 18。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 170、標準偏差 10 の正規分布に従います。190 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 170σ = 10x = 190
z =
3.確率ふつう
6 人のグループから 4 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 6k = 4
N =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 6 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.1 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 6p = 0.1k = 2
P =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.5098 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.5098
z =
6.正規分布むずかしい
試験の得点 は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。色つきの下位 70% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 65 点σ = 10 点70%
x = 点
7.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：60 台、平均 117 h、既知の標準偏差 19 h。機種 2：60 台、平均 109 h、既知の標準偏差 11 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 60x̄₁ = 117 hσ₁ = 19 hn₂ = 60x̄₂ = 109 hσ₂ = 11 h90%
下限 = h
8.信頼区間むずかしい
不良品の割合について事前には何もわかっていません。 割合の 95% 信頼区間の誤差の幅を 0.03 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p = 0.5E = 0.0395%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
16 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は −6.98、差の標準偏差は 9.3 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
n = 16d̄ = −6.98sd = 9.3
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 4 単位のずれを検出力 95% で検出しなければなりません。標準偏差は 28 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.05検出力 = 95%δ = 4σ = 28zα = 1.645zβ = 1.645
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6Σx = 153Σy = 554Σx² = 4059Σy² = 53044Σxy = 14670
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (9, 26) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(9, 26)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 12.65
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 115/5 = 23
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−7)² + 21² + 2² + (−11)² + (−5)² = 640
標準偏差
s = √(640/4) = 12.65
答え
s = 12.65
2.記述統計
答え: z = 2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (190 − 170)/10 = 2
答え
z = 2
3.確率
答え: N = 15
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
答え
N = 15
4.確率
答え: P = 0.09842
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 2) = 15·0.12·0.94 = 15·0.01·0.6561 = 0.09842
答え
P = 0.09842
5.正規分布
答え: z = 0.69
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = (1 + 0.5098)/2 = 0.7549
z 表を逆に読む
表の中で 0.7549 を見つけ、z を読み取ります。
z = 0.69
答え
z = 0.69
6.正規分布
答え: x = 70.2 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.7
表からの z
z ≈ 0.52
元の単位に戻す
x = 65 + 0.52·10 = 70.2 点
答え
x = 70.2 点
7.信頼区間
答え: 下限 = 3.338 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 117 − 109 = 8
標準誤差
SE = √(19²/60 + 11²/60) = 2.834
誤差の幅
E = 1.645·2.834 = 4.662
区間
8 ± 4.662 → [3.338, 12.66]
答え
下限 = 3.338 h
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
8.信頼区間
答え: n = 1068
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 1.96²·0.5·0.5/0.03² = 1067
切り上げる
n = 1068
答え
n = 1068
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −3.002
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
差の平均の標準誤差
SE = 9.3/√16 = 2.325
検定統計量
t = −6.98/2.325 = −3.002
答え
t = −3.002
df = 15 のとき、両側 5% の臨界値は 2.131 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 531
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((1.645 + 1.645)·28/4)² = 530.4
切り上げる
n = 531
答え
n = 531
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9949
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 14670 − 153·554/6 = 543
Sxx = 4059 − 153²/6 = 157.5
Syy = 53044 − 554²/6 = 1891
相関係数
r = 543/√(157.5·1891) = 0.9949
答え
r = 0.9949
12.線形回帰と相関
答え: e = 2.55
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 79/5 = 15.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102
回帰直線
b = 102/40 = 2.55
a = 15.8 − 2.55·6 = 0.5
ŷ = 0.5 + 2.55·x
予測値
ŷ = 0.5 + 2.55·9 = 23.45
残差
e = 26 − 23.45 = 2.55
答え
e = 2.55
点は直線より上にあります。
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