記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：18, 49, 44, 43, 54。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 100、標準偏差 15 の正規分布に従います。70 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 100σ = 15x = 70
z =
3.確率ふつう
10 人のグループから 2 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 10k = 2
N =
4.確率むずかしい
部品を 10 個試験し、各部品は独立に確率 0.7 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 10p = 0.7
P =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.9744 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.9744
z =
6.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.03 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.信頼区間ふつう
σ が既知のもとで 50 個の観測値に基づく平均の 90% 信頼区間の誤差の幅は 6.8 です。 同じデータから求めた 99% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？
90%n₁ = 50E₁ = 6.899%
E₂ =
8.信頼区間むずかしい
予備調査によると、製品の約 0.8 が不良品です。 割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.02 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p ≈ 0.8E = 0.0290%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：80 個の部品の標本の平均長さは 73 mm で、ラインの既知の標準偏差は 5 mm です。ライン 2：80 個の部品の標本の平均は 74.9 mm、既知の標準偏差は 6 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。
n₁ = 80x̄₁ = 73 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 80x̄₂ = 74.9 mmσ₂ = 6 mm
z =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 200 対 H₁: μ > 200 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 10 であることがわかっています。実際の平均は 206 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 200μ = 206σ = 10n = 25α = 0.05
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 6
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (1.5, 50) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(1.5, 50)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 13.9
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 208/5 = 41.6
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−23.6)² + 7.4² + 2.4² + 1.4² + 12.4² = 773.2
標準偏差
s = √(773.2/4) = 13.9
答え
s = 13.9
2.記述統計
答え: z = −2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (70 − 100)/15 = −2
答え
z = −2
3.確率
答え: N = 45
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45
答え
N = 45
4.確率
答え: P = 0.0001437
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.310 = 5.905 × 10⁻⁶
P(X = 1) = 10·0.7·0.39 = 0.0001378
足し合わせる
P = 5.905 × 10⁻⁶ + 0.0001378 = 0.0001437
答え
P = 0.0001437
5.正規分布
答え: z = −1.95
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.9744 = 0.0256
z 表を逆に読む
表の中で 0.0256 を見つけ、z を読み取ります。
z = −1.95
答え
z = −1.95
6.正規分布
答え: P = 0.9099
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm
標準化する
z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34
確率
P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099
答え
P = 0.9099
7.信頼区間
答え: E₂ = 10.65
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(50/50) = 1.566
新しい誤差の幅
E₂ = 6.8·1.566 = 10.65
答え
E₂ = 10.65
8.信頼区間
答え: n = 1083
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 1.645²·0.8·0.2/0.02² = 1082
切り上げる
n = 1083
答え
n = 1083
9.仮説検定と信頼区間
答え: z = −2.176
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差の標準誤差
SE = √(5²/80 + 6²/80) = √0.7625 = 0.8732
検定統計量
z = (73 − 74.9)/0.8732 = −2.176
答え
z = −2.176
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 91.23 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 10/√25 = 2
x̄c = 200 + 1.645·2 = 203.3
真の平均のもとでの z
z = (203.3 − 206)/2 = −1.355
電力
検出力 = P(Z > −1.355) = 91.23%
1 − β = 91.23%
答え
1 − β = 91.23%
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.8785
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 149/6 = 24.83
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 52.83
決定係数
r² = −28.5²/(17.5·52.83) = 0.8785
答え
r² = 0.8785
y の変動の約 87.85% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: e = 2.9
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 285/5 = 57
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
回帰直線
b = 66/10 = 6.6
a = 57 − 6.6·3 = 37.2
ŷ = 37.2 + 6.6·x
予測値
ŷ = 37.2 + 6.6·1.5 = 47.1
残差
e = 50 − 47.1 = 2.9
答え
e = 2.9
点は直線より上にあります。
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