統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
2025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい：47, 26, 43, 17, 42, 42, 57。

n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 500、標準偏差 40 の正規分布に従います。550 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 500σ = 40x = 550
P =
3.確率ふつう
xp(x)00.3520.3540.0560.25μ = 2.4

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.35, 0.05, 0.25
Var(X) =
4.確率むずかしい
n = 11, p = 0.1: P(X = 1) = ?k01234567891011

あるテストには選択問題が 11 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.1 で正解します。ちょうど 1 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 11p = 0.1k = 1
P =
5.正規分布ふつう
1020 kg1082 kgT = X₁ + … + X₁₂?

荷物を持つ乗客 の質量は互いに独立で、平均 85 kg、標準偏差 12 kg の正規分布に従います。そのうち 12 個の合計質量が 1082 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1082 kg
P =
6.正規分布むずかしい
35455565758595点下端 90%

試験の得点 は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。色つきの下位 90% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 65 点σ = 10 点90%
x = 点
7.信頼区間ふつう
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：30 台、平均 107.5 h、既知の標準偏差 16 h。機種 2：30 台、平均 118 h、既知の標準偏差 18 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n₁ = 30x̄₁ = 107.5 hσ₁ = 16 hn₂ = 30x̄₂ = 118 hσ₂ = 18 h99%
下限 = h
8.信頼区間むずかしい
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1.590%

母標準偏差は 5 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 5E = 1.590%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
t −2.01102.011

学生 49 人の標本の平均点は 101.9、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 100x̄ = 101.9s = 8n = 49
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.01βσ = 10, 検出力 90%, n = ?

α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 5 単位のずれを検出力 90% で検出しなければなりません。標準偏差は 10 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.01検出力 = 90%δ = 5σ = 10zα = 2.326zβ = 1.282
n =
11.線形回帰と相関ふつう
xy351458572677775xy4650607080

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy166719852296251162812731135xy15202530100x = 20.5

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (20.5, 94) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(20.5, 94)
e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 13.38

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 274/7 = 39.14

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 7.857² + (−13.14)² + 3.857² + (−22.14)² + 2.857² + 2.857² + 17.86² = 1075

標準偏差

s = √(1075/6) = 13.38

答え

s = 13.38
2.記述統計

答え: P = 0.8944

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 1.25

標準正規分布表

Φ(1.25) = 0.8944
P = 0.8944

答え

P = 0.8944
3.確率

答え: Var(X) = 5.44

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.35 + 2·0.35 + 4·0.05 + 6·0.25 = 2.4

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.35 + 16·0.05 + 36·0.25 = 11.2

分散

Var(X) = 11.2 − 2.4² = 5.44

答え

Var(X) = 5.44
4.確率

答え: P = 0.3835

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二項分布の公式

P(X = 1) = 11·0.11·0.910 = 11·0.1·0.3487 = 0.3835

答え

P = 0.3835
5.正規分布

答え: P = 0.06681

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41.57 kg

標準化する

z = (1082 − 1020)/41.57 = 1.5

確率

P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681

答え

P = 0.06681
6.正規分布

答え: x = 77.8 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.9

表からの z

z ≈ 1.28

元の単位に戻す

x = 65 + 1.28·10 = 77.8 点

答え

x = 77.8 点
7.信頼区間

答え: 下限 = −21.83 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 107.5 − 118 = −10.5

標準誤差

SE = √(16²/30 + 18²/30) = 4.397

誤差の幅

E = 2.576·4.397 = 11.33

区間

−10.5 ± 11.33 → [−21.83, 0.8266]

答え

下限 = −21.83 h

区間は 0 を含むので、データは有意な差を示していません。

8.信頼区間

答え: n = 31

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.645·5/1.5)² = 30.07

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 31

答え

n = 31
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.663

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143

検定統計量

t = (101.9 − 100)/1.143 = 1.663

答え

t = 1.663
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| < 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 53

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((2.326 + 1.282)·10/5)² = 52.07

切り上げる

n = 53

答え

n = 53
11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.8547

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 333/5 = 66.6

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 67
Syy = Σ(y − ȳ)² = 525.2

決定係数

r² = 67²/(10·525.2) = 0.8547

答え

r² = 0.8547

y の変動の約 85.47% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: e = 3.552

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 141/6 = 23.5
ȳ = 626/6 = 104.3

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 729

回帰直線

b = 729/157.5 = 4.629
a = 104.3 − 4.629·23.5 = −4.438
ŷ = −4.438 + 4.629·x

予測値

ŷ = −4.438 + 4.629·20.5 = 90.45

残差

e = 94 − 90.45 = 3.552

答え

e = 3.552

点は直線より上にあります。

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