統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：15, 46, 31, 48, 22, 46, 15。

n = 7

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 500、標準偏差 50 の正規分布に従います。530 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 500σ = 50x = 530

P =

3.確率ふつう

袋に赤玉 3 個と青玉 4 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

3 / 4

P =

4.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 2X + 1 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.05, 0.35, 0.3, 0.3Y = 2X + 1

σ_Y =

5.正規分布ふつう

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。488 から 548 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 500σ = 40x₁ = 488x₂ = 548

P =

6.正規分布むずかしい

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 90% がそれより下にある値 x（第 90 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

7.信頼区間ふつう

9 個からなる標本の平均は 99.5、標準偏差は s = 6.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 9x̄ = 99.5s = 6.590%t(8) = 1.86

上限 =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 24 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 4 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 24E = 495%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 64 人の標本の平均点は 78、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 78s = 20n = 64

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

ある臨床試験で、治療 A の患者 250 人中 88 人、治療 B の患者 200 人中 96 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。

x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 96n₂ = 200

z =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5Σx = 110Σy = 412Σx² = 2510Σy² = 35258Σxy = 9406

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 80 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 80

x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 14.87

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 223/7 = 31.86

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−16.86)² + 14.14² + (−0.8571)² + 16.14² + (−9.857)² + 14.14² + (−16.86)² = 1327

標準偏差

s = √(1327/6) = 14.87

答え

s = 14.87

2.記述統計

答え: P = 0.2743

標準化する

z = 0.6

標準正規分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答え

P = 0.2743

3.確率

答え: P = 0.1429

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0.1429

答え

P = 0.1429

4.確率

答え: σ_Y = 18.19

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 28.5, Var(X) = 82.75, σ_X = 9.097

一次変換

σ_Y = |2|·9.097 = 18.19

答え

σ_Y = 18.19

平均は変化します：E(Y) = 2·28.5 + 1 = 58。

5.正規分布

答え: P = 0.5028

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (488 − 500)/40 = −0.3

z₂ = (548 − 500)/40 = 1.2

間の面積

P = Φ(1.2) − Φ(−0.3) = 0.8849 − 0.3821 = 0.5028

答え

P = 0.5028

6.正規分布

答え: x = 187 cm

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

x に戻す

x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm

答え

x = 186.97 cm

7.信頼区間

答え: 上限 = 103.5

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 8, t = 1.86

誤差の幅

E = 1.86·6.5/√9 = 4.03

区間

99.5 ± 4.03 → [95.47, 103.5]

答え

上限 = 103.5

8.信頼区間

答え: n = 139

n について解く

n = (1.96·24/4)² = 138.3

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 139

答え

n = 139

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.2

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5

検定統計量

t = (78 − 75)/2.5 = 1.2

答え

t = 1.2

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: z = −2.744

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

標本比率

p̂₁ = 88/250 = 0.352

p̂₂ = 96/200 = 0.48

p̂ = 184/450 = 0.4089

H₀ のもとでの標準誤差

SE = √(0.4089·0.5911·(1/250 + 1/200)) = 0.04664

検定統計量

z = (0.352 − 0.48)/0.04664 = −2.744

答え

z = −2.744

|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9963

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 9406 − 110·412/5 = 342

S_xx = 2510 − 110²/5 = 90

S_yy = 35258 − 412²/5 = 1309

相関係数

r = 342/√(90·1309) = 0.9963

答え

r = 0.9963

12.線形回帰と相関

答え: x = 5.536

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 421/6 = 70.17

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84.5

回帰直線

b = 84.5/17.5 = 4.829

a = 70.17 − 4.829·3.5 = 53.27

ŷ = 53.27 + 4.829·x

x について解く

x = (80 − 53.27)/4.829 = 5.536

答え

x = 5.536

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