統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
1520253035404550

データの標本標準偏差 s を求めなさい：35, 48, 39, 11, 22, 54。

n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。146 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 20x = 146
P =
3.確率ふつう
P(少なくとも 1 回 6 が出る) = ??1?2?3?4?5?6?7P(6) = 各回 1/6

公正なさいころを 7 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 7
P =
4.確率むずかしい
€p(x)−10.6920.3490.01

ゲームの参加費は €1 です。確率 0.3 で €3、確率 0.01 で €50 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €1€3: p = 0.3€50: p = 0.01
E(G) = €
5.正規分布ふつう
174.85188.5P = ?

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。174.85 から 188.5 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 178σ = 7x1 = 174.85x2 = 188.5
P =
6.正規分布むずかしい
10 g0X − Y?

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.信頼区間ふつう
n = 20, sd​ = 5.10LUd̄ = −1.7E = ?90%

20 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は −1.7、標準偏差は 5.1 です。 差の平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 20d̄ = −1.7sd = 5.190%t(19) = 1.729
E = mmHg
8.信頼区間むずかしい
n = 15σ = ?Us = 4.995%

機械加工した 15 本の軸の直径の標本標準偏差は 4.9 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 14 のとき、χ² 分布の 2.5% は 5.629 より下に、2.5% は 26.119 より上にあります。

n = 15s = 4.9 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
t −2.13102.131

学生 16 人の標本の平均点は 70.8、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 70.8s = 12n = 16
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −1.64501.645

49 回の測定の標本平均は 204.1 です。母標準偏差は 12 です。平均の 90% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 204.1σ = 12n = 4990%
L =
11.線形回帰と相関ふつう
xy229330436538636xy2463035

表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5Σx = 20Σy = 169Σx² = 90Σy² = 5777Σxy = 698
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy361568787910311113xy5106080100x = 4

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 4 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 5x = 4
ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 16.07

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 209/6 = 34.83

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 0.1667² + 13.17² + 4.167² + (−23.83)² + (−12.83)² + 19.17² = 1291

標準偏差

s = √(1291/5) = 16.07

答え

s = 16.07
2.記述統計

答え: P = 0.8849

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −1.2

標準正規分布表

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849

答え

P = 0.8849
3.確率

答え: P = 0.7209

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209

答え

P = 0.7209
4.確率

答え: E(G) = 0.4 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 2 (p = 0.3), 49 (p = 0.01), −1 (p = 0.69)

期待値

E(G) = 2·0.3 + 49·0.01 − 1·0.69 = 0.4 €

答え

E(G) = 0.4 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

5.正規分布

答え: P = 0.6068

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (174.85 − 178)/7 = −0.45
z₂ = (188.5 − 178)/7 = 1.5

間の面積

P = Φ(1.5) − Φ(−0.45) = 0.9332 − 0.3264 = 0.6068

答え

P = 0.6068
6.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413
7.信頼区間

答え: E = 1.972 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 19, t = 1.729

誤差の幅

E = 1.729·5.1/√20 = 1.972

答え

E = 1.972 mmHg
8.信頼区間

答え: σ = 3.587 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 14·4.9² = 336.1

σ² の限界

336.1/26.119 = 12.87
336.1/5.629 = 59.72

σ の限界

σ = √12.87 = 3.587 µm

答え

σ = 3.587 µm

σ の 95% 区間：[3.587, 7.728] µm。

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

検定統計量

t = (70.8 − 75)/3 = −1.4

答え

t = −1.4
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: L = 201.3

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

誤差の幅

E = 1.645·12/√49 = 2.82

区間の端

L = 204.1 − 2.82 = 201.3

答え

L = 201.3
11.線形回帰と相関

答え: r = 0.8642

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

Sxy = 698 − 20·169/5 = 22
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 5777 − 169²/5 = 64.8

相関係数

r = 22/√(10·64.8) = 0.8642

答え

r = 0.8642
12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 65.55

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 432/5 = 86.4

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278

回帰直線

b = 278/40 = 6.95
a = 86.4 − 6.95·7 = 37.75
ŷ = 37.75 + 6.95·x

予測

ŷ = 37.75 + 6.95·4 = 65.55

答え

ŷ = 65.55

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