記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：28, 28, 53, 26, 55。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 5 の正規分布に従います。67.5 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70σ = 5x = 67.5
P =
3.確率ふつう
9 人のグループから 4 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 9k = 4
N =
4.確率むずかしい
部品を 12 個試験し、各部品は独立に確率 0.3 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 12p = 0.3
P =
5.正規分布ふつう
X は平均 12 min、標準偏差 1.5 min の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 20 min、標準偏差 2 min の正規分布に従います。X + Y が 34.5 min を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 34.5 min
P =
6.正規分布むずかしい
袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。全体の 20% がそれより下にある値 x（第 20 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
7.信頼区間ふつう
σ が既知のもとで 36 個の観測値に基づく平均の 90% 信頼区間の誤差の幅は 9.6 です。 同じデータから求めた 99% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？
90%n₁ = 36E₁ = 9.699%
E₂ =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 10 本の軸の直径の標本標準偏差は 10 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 9 のとき、χ² 分布の 2.5% は 2.7 より下に、2.5% は 19.023 より上にあります。
n = 10s = 10 µmχ² = 2.7, 19.023
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 49 人の標本の平均点は 76.71、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75x̄ = 76.71s = 10n = 49
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 200 人中 110 人、治療 B の患者 80 人中 32 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 110n₁ = 200x₂ = 32n₂ = 80
z =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 55 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 6ŷ = 55
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 14.65
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 190/5 = 38
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−10)² + (−10)² + 15² + (−12)² + 17² = 858
標準偏差
s = √(858/4) = 14.65
答え
s = 14.65
2.記述統計
答え: P = 0.6915
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −0.5
標準正規分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
答え
P = 0.6915
3.確率
答え: N = 126
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126
答え
N = 126
4.確率
答え: P = 0.08503
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.712 = 0.01384
P(X = 1) = 12·0.3·0.711 = 0.07118
足し合わせる
P = 0.01384 + 0.07118 = 0.08503
答え
P = 0.08503
5.正規分布
答え: P = 0.1587
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
和の分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
標準化する
z = (34.5 − 32)/2.5 = 1
上側確率
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587
答え
P = 0.1587
6.正規分布
答え: x = 245.8 g
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
x に戻す
x = 250 + −0.8416·5 = 245.79 g
答え
x = 245.79 g
7.信頼区間
答え: E₂ = 15.03
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(36/36) = 1.566
新しい誤差の幅
E₂ = 9.6·1.566 = 15.03
答え
E₂ = 15.03
8.信頼区間
答え: σ = 6.878 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 9·10² = 900
σ² の限界
900/19.023 = 47.31
900/2.7 = 333.3
σ の限界
σ = √47.31 = 6.878 µm
答え
σ = 6.878 µm
σ の 95% 区間：[6.878, 18.26] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.197
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429
検定統計量
t = (76.71 − 75)/1.429 = 1.197
答え
t = 1.197
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: z = 2.268
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
標本比率
p̂₁ = 110/200 = 0.55
p̂₂ = 32/80 = 0.4
p̂ = 142/280 = 0.5071
H₀ のもとでの標準誤差
SE = √(0.5071·0.4929·(1/200 + 1/80)) = 0.06614
検定統計量
z = (0.55 − 0.4)/0.06614 = 2.268
答え
z = 2.268
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9758
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 355/5 = 71
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 333
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1294
相関係数
r = 333/√(90·1294) = 0.9758
答え
r = 0.9758
12.線形回帰と相関
答え: x = 4.09
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 452/6 = 75.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 364
回帰直線
b = 364/70 = 5.2
a = 75.33 − 5.2·8 = 33.73
ŷ = 33.73 + 5.2·x
x について解く
x = (55 − 33.73)/5.2 = 4.09
答え
x = 4.09
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