記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：14, 46, 28, 33, 10, 59。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 50、標準偏差 8 の正規分布に従います。46 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 50σ = 8x = 46
P =
3.確率ふつう
9 人のグループから 2 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 9k = 2
N =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 11 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 3 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 11p = 0.5k = 3
P =
5.正規分布ふつう
試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。65.5 から 83 点 の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 65σ = 10x1 = 65.5x2 = 83
P =
6.正規分布むずかしい
袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。全体の 90% がそれより下にある値 x（第 90 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 250σ = 5P = 90%
x = g
7.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：50 台、平均 140.5 h、既知の標準偏差 15 h。機種 2：50 台、平均 125.5 h、既知の標準偏差 17 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 50x̄₁ = 140.5 hσ₁ = 15 hn₂ = 50x̄₂ = 125.5 hσ₂ = 17 h90%
上限 = h
8.信頼区間むずかしい
予備調査によると、製品の約 0.3 が不良品です。 割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.025 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p ≈ 0.3E = 0.02590%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 84.67、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75x̄ = 84.67s = 20n = 36
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 100 人中 45 人、治療 B の患者 300 人中 102 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 45n₁ = 100x₂ = 102n₂ = 300
z =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 4.5 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 4.5
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 18.7
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 190/6 = 31.67
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−17.67)² + 14.33² + (−3.667)² + 1.333² + (−21.67)² + 27.33² = 1749
標準偏差
s = √(1749/5) = 18.7
答え
s = 18.7
2.記述統計
答え: P = 0.6915
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −0.5
標準正規分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
答え
P = 0.6915
3.確率
答え: N = 36
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(9, 2) = (9·8)/(2·1) = 36
答え
N = 36
4.確率
答え: P = 0.08057
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 3) = 165·0.53·0.58 = 165·0.125·0.003906 = 0.08057
答え
P = 0.08057
5.正規分布
答え: P = 0.4441
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (65.5 − 65)/10 = 0.05
z₂ = (83 − 65)/10 = 1.8
間の面積
P = Φ(1.8) − Φ(0.05) = 0.9641 − 0.5199 = 0.4441
答え
P = 0.4441
6.正規分布
答え: x = 256.4 g
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
x に戻す
x = 250 + 1.282·5 = 256.41 g
答え
x = 256.41 g
7.信頼区間
答え: 上限 = 20.27 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 140.5 − 125.5 = 15
標準誤差
SE = √(15²/50 + 17²/50) = 3.206
誤差の幅
E = 1.645·3.206 = 5.274
区間
15 ± 5.274 → [9.726, 20.27]
答え
上限 = 20.27 h
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
8.信頼区間
答え: n = 910
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 1.645²·0.3·0.7/0.025² = 909.2
切り上げる
n = 910
答え
n = 910
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.901
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 20/√36 = 20/6 = 3.333
検定統計量
t = (84.67 − 75)/3.333 = 2.901
答え
t = 2.901
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: z = 1.976
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
標本比率
p̂₁ = 45/100 = 0.45
p̂₂ = 102/300 = 0.34
p̂ = 147/400 = 0.3675
H₀ のもとでの標準誤差
SE = √(0.3675·0.6325·(1/100 + 1/300)) = 0.05567
検定統計量
z = (0.45 − 0.34)/0.05567 = 1.976
答え
z = 1.976
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
11.線形回帰と相関
答え: r = −0.9667
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 109/5 = 21.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20
Syy = Σ(y − ȳ)² = 42.8
相関係数
r = −20/√(10·42.8) = −0.9667
答え
r = −0.9667
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 32.55
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 215/6 = 35.83
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57.5
回帰直線
b = 57.5/17.5 = 3.286
a = 35.83 − 3.286·5.5 = 17.76
ŷ = 17.76 + 3.286·x
予測
ŷ = 17.76 + 3.286·4.5 = 32.55
答え
ŷ = 32.55
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