記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：32, 23, 41, 18, 13, 51, 55。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 10 の正規分布に従います。50 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70σ = 10x = 50
P =
3.確率ふつう
6 人のグループから 4 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 6k = 4
N =
4.確率むずかしい
部品を 5 個試験し、各部品は独立に確率 0.5 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 5p = 0.5
P =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.8638 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.8638
z =
6.正規分布むずかしい
IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。全体の 10% がそれより下にある値 x（第 10 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 100σ = 15P = 10%
x = 点
7.信頼区間ふつう
13 個からなる標本の平均は 78.5、標準偏差は s = 14.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 13x̄ = 78.5s = 14.595%t(12) = 2.179
下限 =
8.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：13 区画、平均収量 69 kg、標準偏差 8 kg。区画群 2：13 区画、平均 72.5 kg、標準偏差 9.5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 13x̄₁ = 69s₁ = 8n₂ = 13x̄₂ = 72.5s₂ = 9.599%t(24) = 2.797
E = kg
9.仮説検定と信頼区間ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：14 人の学生、平均点 23、標準偏差 2。グループ 2：17 人の学生、平均点 25、標準偏差 6。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 14x̄₁ = 23s₁ = 2n₂ = 17x̄₂ = 25s₂ = 6
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 1.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 20 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 20E = 1.595%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 25Σy = 353Σx² = 165Σy² = 25425Σxy = 1905
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 4.5 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 4.5
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 16.32
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 233/7 = 33.29
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−1.286)² + (−10.29)² + 7.714² + (−15.29)² + (−20.29)² + 17.71² + 21.71² = 1597
標準偏差
s = √(1597/6) = 16.32
答え
s = 16.32
2.記述統計
答え: P = 0.02275
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −2
標準正規分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275
答え
P = 0.02275
3.確率
答え: N = 15
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
答え
N = 15
4.確率
答え: P = 0.1875
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.55 = 0.03125
P(X = 1) = 5·0.5·0.54 = 0.1563
足し合わせる
P = 0.03125 + 0.1563 = 0.1875
答え
P = 0.1875
5.正規分布
答え: z = 1.49
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = (1 + 0.8638)/2 = 0.9319
z 表を逆に読む
表の中で 0.9319 を見つけ、z を読み取ります。
z = 1.49
答え
z = 1.49
6.正規分布
答え: x = 80.78 点
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
x に戻す
x = 100 + −1.282·15 = 80.78 点
答え
x = 80.78 点
7.信頼区間
答え: 下限 = 69.74
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 12, t = 2.179
誤差の幅
E = 2.179·14.5/√13 = 8.763
区間
78.5 ± 8.763 → [69.74, 87.26]
答え
下限 = 69.74
8.信頼区間
答え: E = 9.635 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差
sp² = (12·8² + 12·9.5²)/24 = 77.13
sp = 8.782
誤差の幅
E = 2.797·8.782·√(1/13 + 1/13) = 9.635
答え
E = 9.635 kg
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.191
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散
sp² = (13·2² + 16·6²)/29 = 21.66
sp = 4.654
標準誤差
SE = 4.654·√(1/14 + 1/17) = 1.679
検定統計量
t = (23 − 25)/1.679 = −1.191
答え
t = −1.191
df = 29 のとき、両側 5% の臨界値は 2.045 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 683
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (1.96·20/1.5)² = 683
切り上げる
n = 683
答え
n = 683
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9868
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 1905 − 25·353/5 = 140
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 25425 − 353²/5 = 503.2
相関係数
r = 140/√(40·503.2) = 0.9868
答え
r = 0.9868
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 67.5
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 435/6 = 72.5
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 87.5
回帰直線
b = 87.5/17.5 = 5
a = 72.5 − 5·5.5 = 45
ŷ = 45 + 5·x
予測
ŷ = 45 + 5·4.5 = 67.5
答え
ŷ = 67.5
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