記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：52, 19, 16, 41, 43。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 500、標準偏差 25 の正規分布に従います。537.5 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 500σ = 25x = 537.5
P =
3.確率ふつう
公正なさいころを 3 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 3
P =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €1 です。確率 0.2 で €5、確率 0.01 で €20 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €1€5: p = 0.2€20: p = 0.01
E(G) = €
5.正規分布ふつう
セメント袋 の質量は互いに独立で、平均 25 kg、標準偏差 0.5 kg の正規分布に従います。そのうち 6 個の合計質量が 151.8 kg を下回る確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 6< 151.8 kg
P =
6.正規分布むずかしい
走者 A の周回タイム X と走者 B の周回タイム Y は独立な正規変数です：X は平均 52 s、標準偏差 4 s、Y は平均 48 s、標準偏差 3 s です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.信頼区間ふつう
σ が既知のもとで 64 個の観測値に基づく平均の 99% 信頼区間の誤差の幅は 10.2 です。 16 個の観測値に基づく 95% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？
99%n₁ = 64E₁ = 10.295%n₂ = 16
E₂ =
8.信頼区間むずかしい
予備調査によると、製品の約 0.15 が不良品です。 割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.04 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p ≈ 0.15E = 0.0490%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 25 人の標本の平均点は 197.2、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 197.2s = 10n = 25
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 4 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 4E = 199%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 12 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 6ŷ = 12
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 15.83
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 171/5 = 34.2
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 17.8² + (−15.2)² + (−18.2)² + 6.8² + 8.8² = 1003
標準偏差
s = √(1003/4) = 15.83
答え
s = 15.83
2.記述統計
答え: P = 0.9332
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 1.5
標準正規分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
答え
P = 0.9332
3.確率
答え: P = 0.4213
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)3 = 0.5787
P = 1 − 0.5787 = 0.4213
答え
P = 0.4213
4.確率
答え: E(G) = 0.2 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 4 (p = 0.2), 19 (p = 0.01), −1 (p = 0.79)
期待値
E(G) = 4·0.2 + 19·0.01 − 1·0.79 = 0.2 €
答え
E(G) = 0.2 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
5.正規分布
答え: P = 0.9292
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
合計の分布
μT = 150 kg, σT = 0.5·√6 = 1.225 kg
標準化する
z = (151.8 − 150)/1.225 = 1.47
確率
P = Φ(1.47) = 0.9292
答え
P = 0.9292
6.正規分布
答え: P = 0.7881
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
標準化する
z = (0 − 4)/5 = −0.8
確率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答え
P = 0.7881
7.信頼区間
答え: E₂ = 15.52
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(64/16) = 1.522
新しい誤差の幅
E₂ = 10.2·1.522 = 15.52
答え
E₂ = 15.52
8.信頼区間
答え: n = 216
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 1.645²·0.15·0.85/0.04² = 215.6
切り上げる
n = 216
答え
n = 216
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.4
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 10/√25 = 10/5 = 2
検定統計量
t = (197.2 − 200)/2 = −1.4
答え
t = −1.4
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 107
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (2.576·4/1)² = 106.2
切り上げる
n = 107
答え
n = 107
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9893
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 129/6 = 21.5
ȳ = 289/6 = 48.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 475.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1467
相関係数
r = 475.5/√(157.5·1467) = 0.9893
答え
r = 0.9893
12.線形回帰と相関
答え: x = 5.068
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 97/6 = 16.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 151
回帰直線
b = 151/70 = 2.157
a = 16.17 − 2.157·7 = 1.067
ŷ = 1.067 + 2.157·x
x について解く
x = (12 − 1.067)/2.157 = 5.068
答え
x = 5.068
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